Калькулятор кубічних рівнянь

інструкції:

• Введіть коефіцієнти a, b, c та d для кубічного рівняння.
• Натисніть «Обчислити», щоб знайти корені кубічного рівняння.
• Результати відображатимуть корені разом із детальними розрахунками та поясненнями.
• Ваша історія розрахунків буде показана нижче.
• Натисніть «Очистити результати», щоб скинути калькулятор.
• Натисніть «Копіювати результати», щоб скопіювати результати в буфер обміну.

x^3 +

x^2 +

x +

Обчислювати Чіткі результати Копіювати результати

Детальний розрахунок і пояснення:

Історія розрахунків

Cubic Equation Calculator — це інструмент, який допомагає розв’язувати кубічні рівняння. Кубічне рівняння — це алгебраїчне рівняння зі степенем 3. Це означає, що старший показник у рівнянні дорівнює 3. Записане в стандартній формі, де a ≠ 0, кубічне рівняння виглядає так: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Члени b, c або d можуть бути відсутніми в рівнянні, або член a може бути 1. У вас є кубічне рівняння, якщо є значення ax^3.

Поняття

Нижче наведено деякі з ключових понять, які лежать в основі кубічних рівнянь:

Roots

Розв’язки кубічного рівняння називаються коренями кубічної функції, визначеної лівою частиною рівняння. Якщо всі коефіцієнти a, b, c і d кубічного рівняння є дійсними числами, то воно має принаймні один дійсний корінь (це справедливо для всіх функцій полінома непарного ступеня). Усі корені кубічного рівняння можна знайти наступним чином:

• Алгебраїчно: точніше, вони можуть бути виражені кубічною формулою, що включає чотири коефіцієнти, чотири основні арифметичні операції, квадратні корені та кубічні корені. Це також вірно для квадратних (другий ступінь) і четвертих (четвертий ступінь) рівнянь, але не для рівнянь вищого ступеня, згідно з теоремою Абеля–Руффіні.
• Тригонометрично: числові наближення коренів можна знайти за допомогою алгоритмів пошуку коренів, таких як метод Ньютона.

Формули Вієта

Формули Вієта показують залежність між коефіцієнтами багаточлена та сумами і добутками його коренів. Якщо ви знаєте один корінь, ви можете зробити заміни та визначити інші. Для кубічного рівняння ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 нехай p, q і r є 3 коренями рівняння. Отже: (x − p)(x − q)(x − r) = 0, так само як ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. Формули Вієта використовують ці еквівалентності, щоб показати, як коріння пов’язані з коефіцієнтами кубічного рівняння. Еквівалентності наведено нижче разом із доказом.

Еквіваленти Вієта	Кореневе вираз	Так само
p + q + r	-б/а
pq + qr + rp	c/a
pqr	-d/a

Переваги

Калькулятор кубічних рівнянь – це корисний інструмент для розв’язування кубічних рівнянь. Це може заощадити час і зусилля порівняно з розв’язуванням рівняння вручну. Калькулятор може знаходити всі розв’язки для x, включаючи складні розв’язки. Для будь-якого кубічного рівняння існує один або три можливих дійсних кореневих розв’язки для x. У вас може бути лише два різних розв’язки, як у випадку x = 1, x = 5, x = 5, однак реальних коренів все одно три.

Цікаві факти

• Кубічні рівняння знали стародавні вавилоняни, греки, китайці, індійці, єгиптяни.
• Проблема подвоєння куба стосується найпростішого та найдавнішого вивченого кубічного рівняння, яке стародавні єгиптяни не вірили в існування розв’язку.
• У 5 столітті до нашої ери Гіппократ звів цю проблему до знаходження двох середніх пропорцій між однією лінією та іншою, подвоєною її довжиною, але не зміг вирішити це за допомогою конструкції циркуля та лінійки. Тепер відомо, що це завдання неможливо.

посилання

• Архімед: Про кулю та циліндр, книга II, положення II
• Ісаак Ньютон: Принципи математики, книга I, твердження X
• Леонард Ейлер: Introductio in Analysin Infinitorum, том I, розділ 9
• Карл Фрідріх Ґаусс: General Disquisitiones circa Superficies Curvas, Розділ 11

Останнє оновлення: 25 листопада 2023 р