Аксіома проти теореми: різниця та порівняння

Аксіоми служать наріжним каменем математичних тверджень або логічних пояснень, а також відправною точкою для теорем.

Аксіоми та набір інших логічних сполучників часто використовуються для виведення теорем.

Ключові винесення

1. Аксіоми — це самоочевидні істини або основні принципи, які не потребують доказів чи обґрунтувань.
2. Теореми - це положення, які потребують логічних доказів для встановлення їх істинності.
3. Теореми базуються на аксіомах і раніше перевірених теоремах, щоб розширити наше розуміння математичних понять.

Аксіома проти теореми

Аксіоми — це основні припущення, які приймаються без доказів, тоді як теореми — це твердження, які можна логічно вивести з аксіом і раніше доведених теорем. Теореми дають нове уявлення та розуміння математичних концепцій, тоді як аксіоми дають foundation для математичних міркувань.

Аксіоми є загальновизнаними і прийнятими істинами. Однак вони не мають жодного конкретного доказу чи практичного способу підкріпити це твердження.

Більшість аксіом стикаються з кількома проблемами з боку людей з інтелектуальним складом розуму. Згодом стане зрозуміло, генії вони чи божевільні.

Нелогічні та логічні аксіоми поділяються на дві категорії залежно від статусу прийнятності.

Теореми демонструються за допомогою інших тверджень, таких як аксіоми або загальновизнані пропозиції.

Теореми, на відміну від аксіом, частіше стикаються з труднощами, оскільки вони піддаються різноманітним методам виведення та інтерпретаціям.

Висновок і гіпотеза використовуються для класифікації теорем. Немає значення, істинна теорема чи ні; це потрібно довести.

Таблиця порівняння

Параметри порівняння	аксіома	Теорема
правда	Вважається істинним, завжди.	Це може бути правдою, може бути неправдою.
прийняття	Загальноприйнятий	Можуть бути прийняті, лише якщо буде доведено, що вони правдиві.
Виклики, з якими стикаються	Порівняно менше	Порівняно високий
фонд	Керуючись аксіомами	Теореми виводяться з аксіом
доказ	Не потребує доказів	Вимагає доказів

Що таке Аксіома?

Аксіоми загальноприйняті та визнані істинними. Аксіоми служать основою для математичних тверджень або логічних пояснень, а також точкою початку теорем.

Більшість аксіом оскаржуються різними людьми з інтелектуальним складом розуму. Проте з часом стане зрозуміло, генії вони чи божевільні.

Аксіоми класифікуються як нелогічні або логічні залежно від статусу прийнятності.

Аксіома — це правильне твердження, особливо те, що ґрунтується на логіці, яке неможливо продемонструвати чи довести. З іншого боку, вони часто розглядаються як самоочевидні.

Аксіоми - це загальновизнані та прийнятні істини. Однак вони не мають будь-якої форми конкретного доказу або будь-якого практичного способу підтвердити це твердження.

З іншого боку, нелогічні аксіоми — це логічні формулювання, які використовуються в побудові математичних теорій. Не існує вимога для будь-якого типу доказів у випадку аксіоми.

Достовірні твердження, які визнаються, називаються логічними аксіомами.

Що таке теорема?

Теореми не завжди можна вважати правильними. Вони навіть можуть бути оманливими.

Теореми часто виводяться з аксіом і набору додаткових логічних сполучників, які вже існують. Немає різниці, істинна теорема чи ні; це вимагає доказів.

У більшості випадків теореми стикаються з більшими труднощами, ніж аксіоми, оскільки вони піддаються різноманітним методам виведення та тлумачень.

Два компоненти теореми, такі як висновок і гіпотеза, часто використовуються для їх класифікації.

Теорема, за визначенням, — це твердження, яке доведено за допомогою попередніх теорем, аксіом і набору інших логічних сполучників.

Теореми встановлюються за допомогою логічних аргументів і суворої математики.

Теореми часто доводяться за допомогою додаткових тверджень, таких як аксіоми або загальновизнані пропозиції.

Основні відмінності між аксіомою і теоремою

1. Аксіома вважається істинним твердженням, особливо заснованим на логіці, яке неможливо продемонструвати або довести. Однак вони вважаються самоочевидними.
2. З іншого боку, за визначенням, теорема вважається твердженням, яке доводиться за допомогою інших теорем, аксіом і набору інших логічних сполучників.
3. Аксіоми є загальновизнаними і вважаються істинними. Однак вони не мають жодного конкретного доказу чи будь-якого практичного способу довести це твердження.
4. З іншого боку, за допомогою логічних міркувань і суворої математики теореми доводяться. Твердження, за допомогою яких доводяться теореми, доводяться за допомогою інших тверджень, таких як аксіоми або загальноприйняті.
5. Більшість аксіом стикаються з багатьма проблемами з боку різних осіб, які володіють інтелектуальним складом розуму. Однак з часом можна дізнатися, чи вони генії чи божевільні.
6. З іншого боку, здебільшого теореми є більш складними, ніж аксіоми, оскільки вони піддаються різноманітним методам виведення та тлумаченням.
7. Аксіоми класифікуються на основі їх статусу прийнятності як нелогічні та логічні. Логічні аксіоми відносяться до дійсних тверджень, які є загальновизнаними, тоді як нелогічні аксіоми відносяться до тих логічних виразів, які використовуються в побудові математичних теорій.
8. З іншого боку, теореми класифікуються на основі двох компонентів, якими вони володіють, наприклад висновку та гіпотези.
9. У випадку аксіоми немає жодних вимог щодо будь-якого типу доказу. З іншого боку, у випадку теореми не має значення, істинна вона чи хибна, але вона потребує доказів.
10. Загалом аксіоми припускаються та вважаються істинними. З іншого боку, теореми не можна вважати завжди істинними. Вони можуть бути навіть помилковими.
11. Фундаментальним каменем математичних тверджень або логічних пояснень є призвело аксіомами, оскільки вони також служать точкою початку теорем. З іншого боку, теореми виводяться з аксіом і набору інших існуючих логічних сполучників.

посилання

1. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0049237X0871111X
2. https://arxiv.org/abs/2108.13336

Останнє оновлення: 11 червня 2023 р