Калькулятор добутку

інструкції:

• Введіть вектори A і B і виберіть операцію.
• Натисніть «Обчислити», щоб виконати розрахунок.
• Перегляньте результат, деталі розрахунку та історію нижче.
• Натисніть «Очистити», щоб скинути введені дані та результати.
• Натисніть «Копіювати», щоб скопіювати результат у буфер обміну.

Вектор А:

Вектор B:

Виберіть операцію: Точковий виріб Перехресний продукт

Обчислювати Очистити Скопіювати

Результат:

Деталі розрахунку:

Історія розрахунків:

Калькулятор скалярного добутку — це інструмент, який обчислює скалярний добуток двох векторів. Це фундаментальний спосіб поєднання двох векторів і широко використовується в математиці, фізиці та інженерії.

Поняття

Скалярний добуток — це алгебраїчна операція, яка бере дві послідовності чисел однакової довжини, вектори координат і повертає одне число. Він також відомий як скалярний добуток. Скалярний добуток вимірює відносний напрямок двох векторів. Це говорить нам про те, наскільки два вектори вказують в одному напрямку.

Формули

Ми пишемо скалярний добуток з маленькою крапкою ⋅ між двома векторами (вимовляється як «крапка b»):

a → ⋅ b → = ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ)

Якщо ми розкладемо це на фактори, перші два будуть ‖ a → ‖ і ‖ b → ‖. Це величини a → і b →, тому скалярний добуток враховує довжину векторів. Остаточним коефіцієнтом є cos ( θ), де θ — кут між a → і b →. Це говорить нам, що скалярний добуток має відношення до напрямку. Зокрема, коли θ = 0, два вектори вказують точно в одному напрямку. Без урахування векторних величин, це коли скалярний добуток є найбільшим, оскільки cos ( 0) = 1. Загалом, чим більше два вектори вказують в одному напрямку, тим більшим буде скалярний добуток між ними.

Інший спосіб подумати про θ — це уявити один вектор, що кидає тінь на інший. Коли кут малий, тінь падає далеко від початку координат, а скалярний добуток великий. Коли θ близьке до π/2, тінь припадає близько до початку координат, а скалярний добуток невеликий.

Коли нам потрібно знайти скалярний добуток у численні багатьох змінних, у нас є лише координати a → і b →. Обчислення ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ) змусить нас знайти два квадратних кореня та косинус, а це дуже складно! На щастя, є простіший спосіб. Просто перемножте відповідні компоненти, а потім додайте:

a → = ( ​​a 1, a 2, a 3) b → = ( ​​b 1, b 2, b 3) a → ⋅ b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

Ця формула поширюється на вектори будь-якої довжини.

Переваги

Точковий продукт має багато переваг. Він використовується у фізиці для обчислення роботи сили, у комп’ютерній графіці для обчислення освітлення та затінення, а в машинному навчанні для обчислення подібності між векторами. Він також використовується в техніці для розрахунку крутного моменту на валу та в навігації для розрахунку відстані між двома точками.

Цікаві факти

• Скалярний добуток є комутативним, тобто a → ⋅ b → = b → ⋅ a →.
• Скалярний добуток є розподільним, тобто a → ⋅ ( b → + c → ) = a → ⋅ b → + a → ⋅ c →.
• Скалярний добуток не є асоціативним, тобто a → ⋅ ( b → ⋅ c → ) ≠ ( a → ⋅ b → ) ⋅ c →.

Останнє оновлення: 11 грудня 2023 р