Підхід Лагранжа проти Ейлера: різниця та порівняння

Ключові винесення

1. Лагранжева точка зору слідкує за окремою рідиною, коли вона рухається в просторі та часі. Ейлерів погляд фокусується на конкретних місцях у просторі, через які тече рідина.
2. У специфікаціях Лагранжа координати рухаються разом із ділянками рідини, тому це корисно для відстеження траєкторій, деформації та обертання. Ейлерові координати фіксовані в просторі, тому краще для аналізу потоків, швидкостей, прискорень.
3. Підхід Лагранжа зазвичай використовується для відстеження океанських течій, атмосферних повітряних мас і траєкторій космічних кораблів. Підхід Ейлера добре працює для вирішення проблем, пов’язаних із стаціонарним обладнанням, таким як турбіни, насоси або крила літака.

Що таке підхід Лагранжа?

Підхід Лагранжа, також відомий як формалізм Лагранжа або механіка Лагранжа, — це математична та концептуальна основа, яка використовується у фізиці для опису динаміки системи. Він пропонує формулювання, альтернативне більш традиційному ньютонівському підходу до аналізу руху частинок і систем. Підхід Лагранжа особливо корисний для систем зі складними обмеженнями, недекартовими координатами та принципами інваріантності, оскільки він спрощує математичний аналіз і пропонує розуміння основних симетрій системи.

Підхід Лагранжа пропонує кілька переваг, включаючи його здатність обробляти обмеження та розкривати симетрії та закони збереження, пов’язані з системою. Він широко використовується в класичній механіці, квантовій механіці, теорії поля та інших областях фізики, де ньютонівський підхід може стати громіздким або менш глибоким.

Що таке ейлерівський підхід?

Ейлерів підхід — це математична та обчислювальна основа, яка аналізує динаміку рідини, зокрема під час вивчення руху та поведінки рідин. Він названий на честь швейцарського математика Леонгарда Ейлера, який зробив значний внесок у різні галузі математики та фізики, включаючи динаміку рідини.

Ейлерів підхід забезпечує потужну основу для вивчення динаміки рідини в ситуаціях, коли колективна поведінка рідини становить головний інтерес. Він зазвичай використовується в метеорології, гідродинаміці, аеродинаміці та будь-якій галузі, де важливо зрозуміти, як рідини рухаються та взаємодіють.

Різниця між підходами Лагранжа та Ейлера

1. Лагранжіан зосереджується на відстеженні руху окремих частинок або об’єктів, коли вони рухаються в просторі. Кожній частинці приписують певні координати, які змінюються з часом. Ейлер зосереджується на спостереженні потоку речовини у фіксованих точках простору, незалежно від того, які частинки займають ці точки. Координати залишаються фіксованими, а властивості рідини змінюються.
2. Лагранжіан описує такі властивості, як швидкість, положення та імпульс для кожної окремої частинки безпосередньо в термінах часу та конкретних координат частинки. Ейлер описує такі властивості, як швидкість, тиск і щільність, як безперервні функції як просторових координат, так і часу.
3. Лагранжіан виводить рівняння руху, враховуючи принцип дії, що призводить до диференціальних рівнянь другого порядку для координат кожної частинки. Ейлерові диференціальні рівняння в частинних похідних (PDE), які описують, як змінюються властивості рідини в певних точках простору та часу, залежно від навколишніх умов.
4. Лагранжіан особливо корисний для вивчення траєкторій окремих частинок, механіки дискретних систем і систем з обмеженнями. Ейлерів добре підходить для аналізу великомасштабних моделей потоків, турбулентності та поведінки багатьох частинок, наприклад динаміки рідин.
5. Лагранжіан корисний для симуляції на основі частинок і відстеження поведінки окремих частинок, але може бути обчислювально інтенсивним для багатьох частинок. Ейлерів використовується в моделюванні на основі сітки (Computational Fluid Dynamics або CFD), де властивості обчислюються на фіксованій сітці, що дозволяє ефективно керувати потоком рідини в широкому діапазоні масштабів.

Порівняння між підходами Лагранжа та Ейлера

Параметри порівняння	Лагранжів підхід	Ейлерівський підхід
Еволюція часу	Відстежує окремі траєкторії частинок.	Спостерігає властивості рідини у фіксованих просторових точках.
Рівняння руху	Включає диференціальні рівняння другого порядку.	Включає диференціальні рівняння в частинних похідних (PDE).
Ідентифікація часток	Кожна частинка має унікальні координати.	Зосереджується на властивостях рідини при фіксованих координатах.
Взаємодія частинок	Підходить для систем з невеликою кількістю взаємодіючих частин.	Ефективний для аналізу складних взаємодій рідин.
Обробка обмежень	Корисно для вивчення систем з обмеженнями.	Менше стурбований обмеженнями, більш макроскопічний.

посилання

1. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1352231014000946
2. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0032591019308204

Останнє оновлення: 14 жовтня 2023 р