抛物线与双曲线：差异与比较

圆锥截面是当平面与圆锥以某个特定角度相交时获得的曲线。 有三个圆锥曲线——椭圆、抛物线和双曲线。

椭圆是具有两个类似于圆的焦点的平面曲线。 然而，抛物线和双曲线是令人困惑的部分。

关键精华

1. 抛物线是表示二次函数的 U 形曲线，具有一个对称轴和一个顶点。
2. 双曲线由两条不同的曲线组成，代表两个焦点之间的距离差恒定的点。
3. 抛物线和双曲线都是圆锥曲线，但它们表现出不同的形状和数学性质，抛物线有一个分支，双曲线有两个分支。

抛物线与双曲线

抛物线是一条围绕其轴对称的 U 形曲线。 相比之下，双曲线是一种曲线，它有两条向上或向下张开的分支，并且围绕它们的中心点对称。 在数学上，它们由不同的代表 方程 并具有不同的属性。

抛物线是一条延伸到无穷大的开放曲线。 呈U字形，一焦点一准线。

双曲线是具有两个不相连的分支的开放曲线。 它有两个焦点和两个方向，每个方向一个 单元.

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对比表

比较参数	抛物线	双曲线
定义	抛物线是与焦点和准线距离相等的点的轨迹。	双曲线是两个焦点之间具有常数差的点的轨迹。
形状	抛物线是一条具有一个焦点和一个准线的开放曲线。	双曲线是一条具有两个分支、两个焦点和两个准线的开放曲线。
怪癖	抛物线的非负偏心率是 XNUMX。	双曲线的非负偏心率 e 比 XNUMX 更显着。
平面交点	平面的交点与圆锥的倾斜高度平行（理想情况下）。	平面的交点平行于（理想情况下）双锥体的垂直高度。
一般方程	抛物线的一般方程为y = ax², a ≠ 0	双曲线的一般方程是 x²/a² – y²/b² = 1

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什么是抛物线？

抛物线是与一点和直线等距的所有点的轨迹。 这个点叫做焦点，这条线叫做准线。

当平面与圆锥在平行方向（理想情况）上与其倾斜相交时，形成抛物线 高度.

抛物线的一般方程为

y = ax², a ≠ 0

a 的值决定了曲线的形状。

如果 a > 0，则抛物线的口向顶部张开。

如果 a < 0，则抛物线的嘴向底部张开。

上述抛物线的焦点是(0, 1/4a)。 准线是 (-1/4a)。

但是，当 a=1 时，抛物线称为单位抛物线。

抛物线的离心率为 XNUMX。

抛物线关于它的轴对称。 在无穷远处，曲线显示为平行线。

 

什么是双曲线？

双曲线是所有点的轨迹，两个不同点之间的差为常数。 这些点称为双曲线的焦点。

当实平面在平行于其垂直高度的方向上与圆锥相交时，形成双曲线。

双曲线的一般方程为

(x-α)²/a² – (y-β)²/b² = 1

上述双曲线的焦点是( α ± sqrt( a²+b²), β)。

顶点是 (±a, β)。

双曲线的偏心率比双曲线更显着。

双曲线有两个对称轴。 它们是横轴和共轭轴。

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抛物线和双曲线的主要区别

抛物线和双曲线是圆锥曲线。 它们具有不同的形状和特性。

两者之间的主要区别是：

1. 抛物线是与焦点和准线距离相等的所有点的轨迹。 另一方面，双曲线是所有问题的轨迹，其中两个焦点之间的距离差是恒定的。
2. 抛物线是具有一个焦点和准线的开放曲线，而双曲线是具有两个分支、两个焦点和准线的开放曲线。
3. 抛物线的偏心率是 XNUMX，而双曲线的偏心率比 XNUMX 更显着。
4. 当平面沿其倾斜高度与圆锥相交时，形成抛物线。 另一方面，当平面沿其垂直高度与圆锥相交时，会形成双曲线。
5. 抛物线的方程是 y = ax²。 另一方面，双曲线的方程是 x²/a² – y²/b² = 1。

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参考资料

1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ao-54-24-7148
2. https://asmedigitalcollection.asme.org/appliedmechanics/article-abstract/68/4/537/449711

最后更新时间：11 年 2023 月 XNUMX 日