التكامل مقابل التكامل الجزئي: الفرق والمقارنة

يسمى حل الدوال المتكاملة باستخدام الصيغة أو الطرق الجزئية التكامل. علاوة على ذلك ، فإن التفاضل والتكامل هما أهم عمليتين أساسيتين في التفاضل والتكامل.

تعمل كأداة لفك رموز المشاكل في الرياضيات والفيزياء ؛ مساحة الشكل المتغير ، ومسافة المنحنى ، وحجم الجسم الصلب.

الوجبات السريعة الرئيسية

1. يحسب التكامل المنطقة الواقعة أسفل منحنى أو المشتقة العكسية للدالة ، مما يوفر طريقة للعثور على القيمة المتراكمة لمتغير خلال فترة زمنية محددة ، في حين أن التكامل الجزئي ، المعروف أيضًا باسم التكامل بالأجزاء ، هو تقنية تستخدم لدمج منتجات اثنين المهام.
2. يعد التكامل مفهومًا أساسيًا في حساب التفاضل والتكامل ، ويمكن تطبيقه على مجموعة واسعة من المشكلات في الرياضيات والفيزياء والهندسة. في المقابل ، يعد التكامل الجزئي طريقة محددة ضمن التكامل تستخدم عندما لا تكون تقنيات التكامل القياسية قابلة للتطبيق.
3. يعتمد التكامل على قواعد مختلفة ، مثل طرق القوة والسلسلة والاستبدال. في المقابل ، يعتمد التكامل الجزئي على قاعدة المنتج للتفاضل ، مما يسمح باتباع نهج منظم لحل تكاملات أكثر تعقيدًا.

التكامل مقابل التكامل الجزئي

الفرق بين التكامل والتكامل الجزئي هو أن التكامل هو مضاد بسيط لاشتقاق دالة يتم تحديدها باستخدام الصيغ. من ناحية أخرى ، التكامل الجزئي طريقة تستخدم للتقسيم الجزئي ثم دمج دالة الكسر الكسري مع المصطلحات المعقدة في المقام بعد قاعدة LIATE.

التكامل هو أبسط صورة لاشتقاق دالة. بمعنى آخر ، إنها طريقة رياضية لتوحيد كل جزء في الكل.

يقوم بحساب منطقة المناطق المحددة أو أسفل منحنيات الرسوم البيانية. يحتوي على أكثر من عشرين صيغة تكامل لوظائف مختلفة مثل علم المثلثات والجبر والمعكوس والأسي.

يسمى التكامل الجزئي أيضًا التكامل بالأجزاء. إنها إحدى طرق التكامل التي ابتكرها عالم الرياضيات بروك تايلور عام 1715.

وبالتالي فإن صيغة التكامل الجزئي تحسب التكاملات بشكل أسهل عن طريق تبسيط تكامل الوظائف في المنتجات. علاوة على ذلك ، فهو يعمل بشكل جيد مع التعبيرات المتكاملة ، التي لا تحتوي على تكامل مباشر الصيغ.

جدول المقارنة

معلمات المقارنة	الاندماج	التكامل الجزئي
تعريف	إنه مضاد اشتقاق دالة في الرياضيات.	طريقة تكامل. ويسمى أيضًا التكامل بالأجزاء.
المعادلة	هناك أكثر من عشرين صيغة تكامل لكل دالة (حساب المثلثات ، الجبر ، معكوس ، أسي)	صيغة تكامل الأشعة فوق البنفسجية: ∫ udv = uv - ∫ v du
استعمل	إنه يحدد الحجم والمساحة والأبعاد الأخرى للعديد من الأشياء.	يبسط التعبير لسهولة التكامل.
الأنواع	التكاملات المحددة وغير المحددة.	لا توجد أنواع
قوانيـن	التكامل هو عكس الاشتقاق.	LIATE- الدوال اللوغارتمية ، المثلثية المعكوسة ، الجبرية ، المثلثية ، والأسية.

ما هو التكامل؟

التكامل هو الطريقة الأساسية التي يجب تدريسها في حساب التفاضل والتكامل ، مسبوقة بالتفاضل. قام كل من إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم ليبنيز بشكل فردي بتطوير التكامل في أواخر القرن السابع عشر.

وفقًا لهذه النظرية ، فإن المساحة الواقعة أسفل المنحنى هي مجموع المستطيلات اللانهائية ذات العرض اللانهائي.

علاوة على ذلك ، هناك نوعان من التكامل في حساب التفاضل والتكامل: محدد وغير محدد. التكامل المحدد هو المساحة الواقعة أسفل المنحنى ذات الحدين العلوي والسفلي الثابت.

من ناحية أخرى ، التكامل غير المحدد هو منطقة تقع أسفل المنحنى بدون حدود عليا وسفلية.

أيضًا ، مع اشتقاق الوظيفة ، يمكن تحديد مضاد الاشتقاق باستخدام الصيغ والتقنيات ؛ هذه الطريقة تسمى التكامل.

بالإضافة إلى ذلك ، يجب اتباع قواعد محددة لحل التكامل ، مثل المجموع والفرق ، والقوة ، والضرب المستمر ، وقواعد المعاملة بالمثل.

يمكن تحقيق تكاملات بعض الوظائف باستخدام أربع طرق: التكامل بالتعويض ، والتحلل ، والتكامل الجزئي ، والتكامل بواسطة الكسور الجزئية.

∫ هو الرمز الذي يمثل تكامل دالة. على سبيل المثال ، ∫ 1.dx = x + C تعني أن تكامل 1 (ثابت) يساوي مجموع X و C (ثابت). 

ما هو التكامل الجزئي؟

هناك وظيفتان يجب حلهما باستخدام هذه الطريقة. يُعرف أيضًا باسم التكامل بالأجزاء. التكامل الجزئي هو إحدى طرق التكامل التي اقترحها عالم الرياضيات بروك تايلور في عام 1715.

يبسط تكامل ناتج الوظائف في التكاملات لسهولة الحساب. تهدف هذه التقنية إلى حساب التعبيرات المتكاملة التي لا تحتوي على صيغ تكامل مباشر ، مثل الدوال المثلثية العكسية والدوال اللوغاريتمية.

التكامل الجزئي هو إيجاد المشتقات العكسية للدوال التي ليس لها حلول دقيقة للدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية ، كما في حالة كثيرات الحدود. 

∫ udv = uv - ∫ v du هو تكامل معادلة uv المستخدمة لحل دالة بالتكامل الجزئي. الدالتان u و v هما التكاملات المطلوب حلها.

بالإضافة إلى ذلك ، LIATE - اللوغاريتمية والمثلثية العكسية والجبرية والمثلثية والأسية هي مجموعة مرتبة من الدوال التي يجب اتباعها للتكامل الجزئي.

وفقًا لذلك ، تتمثل الخطوة الأولى في تحديد دالات u و v بشكل صحيح بناءً على LIATE.

وبهذه الطريقة ، فإن تكامل (منتج الوظيفة الأولى والوظيفة الثانية) يساوي الفرق بين {منتج (الوظيفة الأولى) و (تكامل الوظيفة الثانية)} وتكامل {منتج (تمايز الوظيفة الأولى) وتكامل الوظيفة الثانية)}. 

الاختلافات الرئيسية بين التكامل والتكامل الجزئي 

1. التكامل هو الطريقة الأساسية في حساب التفاضل والتكامل المستخدمة لإيجاد مضاد مشتقة الدوال. حيث أن التكامل الجزئي هو إحدى طرق التكامل. 
2. تتم طريقة التكامل عن طريق تدوين الصيغ وحلها. وفي الوقت نفسه ، يستخدم التكامل الجزئي int ∫ udv = u v- ∫ int v du. 
3. صاغ "إسحاق نيوتن" و "جوتفريد فيلهلم ليبنيز" الاندماج في أواخر القرن السابع عشر. وفي الوقت نفسه ، تم تطوير التكامل الجزئي من قبل عالم الرياضيات بروك تايلور في عام 17. 
4. يساعد تكامل الدالة في تحديد المنطقة الواقعة أسفل المنحنى في الرسم البياني. من ناحية أخرى ، يساعد التكامل الجزئي في تبسيط التعبير لسهولة التكامل. 
5. يلتزم التكامل بالقواعد الأساسية مثل قاعدة القوة وقاعدة الجمع وقاعدة الضرب. ومع ذلك ، يخضع التكامل الجزئي لقاعدة واحدة فقط تسمى LIATE (لوغاريتمي ، ومثلث معكوس ، وجبر ، ومثلثي ، وأسي). 

مراجع حسابات

1. https://www.emerald.com/insight/content/doi/10.1108/eb039143/full/html
2. https://heinonline.org/hol-cgi-bin/get_pdf.cgi?handle=hein.journals/taxlr47&section=33

آخر تحديث: 13 فبراير 2024