نهج لاغرانج مقابل أويلريان: الفرق والمقارنة

الوجبات السريعة الرئيسية

1. تتبع وجهة نظر لاغرانج طردًا سائلًا فرديًا أثناء تحركه عبر المكان والزمان. تركز وجهة نظر أويلر على مواقع محددة في الفضاء الذي يتدفق من خلاله السائل.
2. في مواصفات لاغرانج، تتحرك الإحداثيات مع طرود الموائع لذا فهي مفيدة لمتابعة المسارات والتشوه والدوران. الإحداثيات الأويلرية ثابتة في الفضاء، لذا فهي أفضل لتحليل التدفقات والسرعات والتسارعات.
3. يُستخدم نهج لاغرانج بشكل شائع في تتبع تيارات المحيطات والكتل الهوائية في الغلاف الجوي ومسارات المركبات الفضائية. يعمل أسلوب أويلر بشكل جيد في حل المشكلات التي تتضمن معدات ثابتة مثل التوربينات أو المضخات أو أجنحة الطائرات.

ما هو نهج لاغرانج؟

نهج لاغرانج، المعروف أيضًا باسم شكلية لاغرانج أو ميكانيكا لاغرانج، هو إطار رياضي ومفاهيمي يستخدم في الفيزياء لوصف ديناميكيات النظام. فهو يوفر صيغة بديلة للنهج النيوتوني الأكثر تقليدية لتحليل حركة الجسيمات والأنظمة. يعد نهج لاغرانج مفيدًا بشكل خاص للأنظمة ذات القيود المعقدة، والإحداثيات غير الديكارتية، ومبادئ الثبات، لأنه يبسط التحليل الرياضي ويقدم نظرة ثاقبة للتماثلات الأساسية للنظام.

يقدم نهج لاغرانج العديد من المزايا، بما في ذلك قدرته على التعامل مع القيود والكشف عن التماثلات وقوانين الحفظ المرتبطة بالنظام. يُستخدم على نطاق واسع في الميكانيكا الكلاسيكية، وميكانيكا الكم، ونظرية المجال، ومجالات أخرى من الفيزياء حيث قد يصبح النهج النيوتوني مرهقًا أو أقل بصيرة.

ما هو النهج الأويليري؟

النهج الأويليري هو إطار رياضي وحسابي يحلل ديناميكيات الموائع، خاصة في دراسة حركة الموائع وسلوكها. تم تسميته على اسم عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر، الذي قدم مساهمات كبيرة في مختلف مجالات الرياضيات والفيزياء، بما في ذلك ديناميكا الموائع.

يوفر النهج الأويليري إطارًا قويًا لدراسة ديناميكيات الموائع في المواقف التي يكون فيها السلوك الجماعي للسوائل ذا أهمية أساسية. ويشيع استخدامه في الأرصاد الجوية، والديناميكا المائية، والديناميكا الهوائية، وأي مجال حيث من الضروري فهم كيفية تحرك السوائل وتفاعلها.

الفرق بين نهج لاغرانج وأويلريان

1. يركز لاغرانجيان على تتبع حركة الجسيمات أو الأجسام الفردية أثناء تحركها عبر الفضاء. يتم تعيين إحداثيات محددة لكل جسيم تتطور بمرور الوقت. يركز أويلريان على مراقبة تدفق المادة في نقاط ثابتة في الفضاء، بغض النظر عن الجسيمات التي تشغل تلك النقاط. تظل الإحداثيات ثابتة بينما تختلف خصائص السوائل.
2. يصف لاغرانج خصائص مثل السرعة والموقع والزخم لكل جسيم على حدة بشكل مباشر من حيث الوقت والإحداثيات الخاصة بالجسيم. يصف أويليريان الخصائص، مثل السرعة والضغط والكثافة، كوظائف مستمرة لكل من الإحداثيات المكانية والوقت.
3. يشتق لاغرانجيان معادلات الحركة من خلال النظر في مبدأ العمل، مما يؤدي إلى معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية لإحداثيات كل جسيم. يشتق أويلريان معادلات تفاضلية جزئية (PDEs) تصف كيفية تغير خصائص السوائل عند نقاط محددة في المكان والزمان، بناءً على الظروف المحيطة.
4. يعتبر لاغرانجيان مفيدًا بشكل خاص لدراسة مسارات الجسيمات الفردية، وميكانيكا الأنظمة المنفصلة، ​​والأنظمة ذات القيود. يعد أويلريان مناسبًا تمامًا لتحليل أنماط التدفق واسعة النطاق، والاضطراب، والسلوكيات التي تتضمن العديد من الجسيمات، مثل ديناميكيات الموائع.
5. يعد لاغرانجيان مفيدًا لعمليات المحاكاة القائمة على الجسيمات وتتبع سلوك الجسيمات الفردية، ولكنه يمكن أن يكون مكثفًا من الناحية الحسابية للعديد من الجسيمات. يُستخدم أويلر في عمليات المحاكاة القائمة على الشبكة (ديناميكيات الموائع الحسابية، أو CFD)، حيث يتم حساب الخصائص على شبكة ثابتة، مما يسمح بالتعامل الفعال مع تدفق السوائل عبر نطاق واسع من المقاييس.

مقارنة بين نهج لاغرانج وأويلريان

معلمات المقارنة	نهج لاغرانج	النهج الأويليري
تطور الوقت	يتتبع مسارات الجسيمات الفردية.	يلاحظ خصائص السوائل في نقاط مكانية ثابتة.
معادلات الحركة	يتضمن المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية.	يتضمن المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs).
تحديد الجسيمات	كل جسيم له إحداثيات فريدة.	يركز على خصائص السوائل عند الإحداثيات الثابتة.
تفاعل الجسيمات	مناسبة للأنظمة ذات الأجزاء المتفاعلة القليلة.	فعالة لتحليل تفاعلات السوائل المعقدة.
معالجة القيد	مفيد لدراسة الأنظمة ذات القيود.	أقل اهتمامًا بالقيود، وأكثر عيانية.

مراجع حسابات

1. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1352231014000946
2. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0032591019308204

آخر تحديث: 14 أكتوبر 2023