Kommutativ und Assoziativ werden in der Mathematik häufig verwendet, um Fragen zu lösen oder einen Satz zu beweisen. Diese Eigenschaften helfen, die Fragen zu lösen und Eigenschaften zu bestimmen.
Es hilft, Antworten zu berechnen. Beide haben unterschiedliche Bedeutungen, aber beide sind miteinander verwandt.
Beide können auf die Multiplikation angewendet werden.
Key Take Away
- Das Kommutativgesetz gilt sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation, sodass Zahlen neu angeordnet werden können, ohne das Ergebnis zu beeinflussen.
- Das assoziative Eigentum beinhaltet auch Addition und Multiplikation, konzentriert sich jedoch auf die Umgruppierung von Zahlen, ohne das Ergebnis zu ändern.
- Beide Eigenschaften sind grundlegend in der Mathematik und helfen dabei, Gleichungen effizienter zu vereinfachen und zu lösen.
Kommutativ vs. Assoziativ
Der Unterschied zwischen Kommutativ und Assoziativ besteht darin, dass Kommutativ aus dem Wort „commute“ entsteht, wohingegen „Assoziativ“ aus dem Wort „grouping“ stammt. Kommutativ macht die Zahlen wechseln, aber Assoziativ bewirkt, dass die Zahlengruppe miteinander vertauscht wird. Die Reihenfolge der Faktoren oder Addenden ändert nichts an der Antwort.
Eine kommutative Operation ist eine Operation, die unabhängig von der Reihenfolge ihrer Operanden ist. Die Addition und Multiplikation von reellen Zahlen sind kommutative Operationen, da für jede reelle Zahl „a“ und „b“ gilt.
Subtraktion und Division sind jedoch keine kommutativen Operationen. Die genaue Definition hängt von der Art der verwendeten Algebra ab.
Eine assoziative Operation (auch kommutative Operation genannt) ist eine mathematische Operation, die die Reihenfolge der Operanden beibehält.
Die Zahlen 3 und 4 werden addiert, gefolgt von 4 und 3, die zusammenaddiert werden, was bedeutet, dass die Reihenfolge der Addition keine Rolle spielt. Das Assoziativgesetz funktioniert auch bei Subtraktion und Multiplikation.
Vergleichstabelle
| Vergleichsparameter | Kommutativ | Assoziativ |
|---|---|---|
| Entstehen | Pendeln | Gruppe an |
| Bedeutung | Zahlen wechseln | Zahlen in einer Gruppe |
| Zwei Nummern zusätzlich | a+b = b+a | (a+b)+c = a+(b+c) |
| Zwei Zahlen in Multiplikation | a*b = b*a | (a*b)*c = a*(b*c) |
| Change | Reihenfolge der Zusätze | Gruppierung von Summanden |
| Änderungen beantworten | Die Reihenfolge der Faktoren ändert nichts an der Antwort. | Eine Gruppe von Faktoren ändert nichts an der Antwort. |
Was ist kommutativ?
Während das Kommutativgesetz der Addition relativ einfach ist, ist das Kommutativgesetz der Multiplikation etwas subtiler.
Stelle die Addition und Multiplikation von reellen Zahlen gegenüber. In diesem Fall haben wir nicht nur eine Änderung der Reihenfolge der Begriffe, sondern auch eine Änderung des Ergebnisses!
Das ist etwas, was wir auch nicht sehen. Wenn wir zum Beispiel überlegen, warum, dann sind sowohl 1+3 als auch 3+1 gleich 4.
Wenn wir die Reihenfolge dieser beiden Terme vertauschen würden, wäre die Antwort immer noch 4. Tatsächlich ist jede binäre Operation (einschließlich der leeren Operation) in einem Körper oder Ring kommutativ.
Eine kommutative Operation ist eine Operation in der Mathematik deren Reihenfolge spielt keine Rolle. Mit anderen Worten: Das Ergebnis zweier beliebiger Operationen mit denselben Operanden ist unabhängig von ihrer Reihenfolge immer dasselbe.
Kommutative Operationen sind sehr wichtig, um mathematische Ausdrücke zu vereinfachen und Fehler in der Reihenfolge der Operationen zu vermeiden.
Eine kommutative Operation ist als eine Operation definiert, die rückgängig gemacht werden kann.
Beispielsweise ist die Multiplikation zweier Zahlen kommutativ, da die Multiplikation der ersten Zahl mit der zweiten Zahl oder umgekehrt zum gleichen Ergebnis führt.
Wenn wir den Operator + auf zwei Zahlen anwenden, ist das Ergebnis möglicherweise nicht immer dasselbe.
Was ist assoziativ?
Das Subtrahieren einer Zahl von einer anderen und dann das Subtrahieren der zweiten Zahl von der ersten ergibt das gleiche Ergebnis wie das Subtrahieren dieser beiden Zahlen in beliebiger Reihenfolge.
Die assoziative Eigenschaft ermöglicht es uns, Ausdrücke auf unterschiedliche Weise umzuschreiben, ohne ihren Wert zu ändern. Wenn wir zum Beispiel zwei Funktionen haben, f(x) und g(x).
Eine assoziative Operation ist eine Verallgemeinerung einer Operation, die zwischen Elementen einer Gruppe mit einer bestimmten Eigenschaft definiert ist.
Assoziative Operationen sind in vielen Bereichen üblich, wie Mathematik, Physik, Philosophie, Linguistik und Computerwissenschaften.
Die bekannteste assoziative Operation ist die Addition zur Menge der reellen Zahlen. Das heißt, für drei beliebige reelle Zahlen ist die Summe unabhängig von der Gruppierung der Operanden: zum Beispiel.
Dies gilt auch dann, wenn einer oder mehrere der Summanden Null sind. Diese Eigenschaft erstreckt sich auf alle kommutativen Operationen mit reellen Zahlen.
Die assoziative Operation stellt eine arithmetische Operation dar, die unabhängig von der Reihenfolge, in der die Operanden ausgewertet werden, zum gleichen Ergebnis führt.
Die assoziative Operation ist eine wichtige Eigenschaft der Karte, die es uns ermöglicht, Dinge wie die Vektoraddition durchzuführen:
Das Assoziativgesetz für die Schnittmenge besagt, dass die Schnittmenge von drei Mengen berechnet werden kann, indem man mit der Schnittmenge von zwei Mengen beginnt und dann die Schnittmenge auf die dritte Menge anwendet.
Hauptunterschiede zwischen kommutativ und assoziativ
- Kommutativ kommt vom Pendeln, aber Assoziativ kommt von der Gruppe.
- Kommutativ kann Zahlen vertauschen, aber assoziativ bezieht sich auf das Bilden der Zahlen in einer Gruppe.
- Kommutativ ist a+b = b+a, aber Assoziativ ist zusätzlich a+(b+c) = (a+b)+c.
- Kommutativ ist axb = bxa, aber assoziativ ist ax (bxc) = (axb) xc in der Multiplikation.
- Kommutativ kann die Reihenfolge von Addenden und Enden ändern, aber Assoziativ kann die Gruppierung von Addenden ändern.
- Die Änderung der Reihenfolge der Faktoren ändert nicht die Antwort und ändert die Reihenfolge einer Gruppe von Faktoren.
- https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0732312312000351
- https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/2167702612455742
Letzte Aktualisierung: 11. Juni 2023
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Piyush Yadav hat die letzten 25 Jahre als Physiker in der örtlichen Gemeinde gearbeitet. Er ist ein Physiker, der sich leidenschaftlich dafür einsetzt, die Wissenschaft für unsere Leser zugänglicher zu machen. Er hat einen BSc in Naturwissenschaften und ein Postgraduiertendiplom in Umweltwissenschaften. Sie können mehr über ihn auf seinem lesen Bio-Seite.
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