Το Conmutative και το Associative χρησιμοποιούνται σε μεγάλο βαθμό στα Μαθηματικά για την επίλυση ερωτήσεων ή για την απόδειξη κάποιου θεωρήματος. Αυτές οι ιδιότητες βοηθούν στην επίλυση των ερωτήσεων και στον προσδιορισμό των ιδιοτήτων.
Βοηθά στον υπολογισμό των απαντήσεων. Και τα δύο έχουν διαφορετικές έννοιες, αλλά και τα δύο σχετίζονται μεταξύ τους.
Και τα δύο μπορούν να εφαρμοστούν στον πολλαπλασιασμό.
Βασικές τακτικές
- Η ιδιότητα αντικατάστασης ισχύει τόσο για την πρόσθεση όσο και για τον πολλαπλασιασμό, επιτρέποντας την αναδιάταξη των αριθμών χωρίς να επηρεάζεται το αποτέλεσμα.
- Η συσχετιστική ιδιότητα περιλαμβάνει επίσης πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, αλλά εστιάζει στην ανασυγκρότηση αριθμών χωρίς να αλλάζει το αποτέλεσμα.
- Και οι δύο ιδιότητες είναι θεμελιώδεις στα μαθηματικά, βοηθώντας στην απλοποίηση και την αποτελεσματικότερη επίλυση των εξισώσεων.
Ανταλλακτική vs Συνειρμική
Η διαφορά μεταξύ Commutative και Associative είναι ότι το Commutative προέρχεται από τη λέξη commute, ενώ το Associative προέρχεται από τη λέξη ομαδοποίηση. Το Commutative κάνει τους αριθμούς αλλαγή, αλλά το Associative κάνει την ομάδα αριθμών να αλλάζει μεταξύ τους. Η σειρά των παραγόντων ή των προσθηκών δεν αλλάζει την απάντηση.
Μια αντιμεταθετική πράξη είναι μια πράξη που είναι ανεξάρτητη από τη σειρά των τελεστών της. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών είναι αντισταθμιστικές πράξεις, αφού για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, «α» και «β».
Ωστόσο, η αφαίρεση και η διαίρεση δεν είναι ανταλλάξιμες πράξεις. Ο ακριβής ορισμός εξαρτάται από τον τύπο της άλγεβρας που χρησιμοποιείται.
Μια συνειρμική πράξη (ονομάζεται επίσης αντιμεταθετική πράξη) είναι μια μαθηματική πράξη που διατηρεί τη σειρά των τελεστών.
Οι αριθμοί 3 και 4 αθροίζονται, ακολουθούμενοι από 4 και 3 που προστίθενται μαζί, πράγμα που σημαίνει ότι η σειρά πρόσθεσης δεν έχει σημασία. Η συσχετιστική ιδιότητα λειτουργεί επίσης για αφαίρεση και πολλαπλασιασμό.
Συγκριτικός πίνακας
| Παράμετροι σύγκρισης | Ανταλλαγή | Προσεταιριστική |
|---|---|---|
| Καταγομαι απο | Ανταλάσσω | Group |
| Νόημα | Εναλλαγή αριθμών | Αριθμοί σε μια ομάδα |
| Δύο νούμερα επιπλέον | α+β = β+α | (α+β)+γ = α+(β+γ) |
| Δύο αριθμοί σε πολλαπλασιασμό | α*β = β*α | (a*b)*c = a*(b*c) |
| Αλλαγή | Σειρά προσθηκών | Ομαδοποίηση προσθηκών |
| Απαντήστε στις αλλαγές | Η σειρά των παραγόντων δεν αλλάζει την απάντηση. | Μια ομάδα παραγόντων δεν αλλάζει την απάντηση. |
Τι είναι το Commutative;
Ενώ η ανταλλάξιμη ιδιότητα της πρόσθεσης είναι σχετικά απλή, η ανταλλάξιμη ιδιότητα του πολλαπλασιασμού είναι ελαφρώς πιο λεπτή.
Αντιπαραβάλετε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση δεν έχουμε μόνο αλλαγή στη σειρά των όρων αλλά και αλλαγή στο αποτέλεσμα!
Αυτό είναι κάτι που ούτε εμείς το βλέπουμε. Για παράδειγμα, αν λάβουμε υπόψη το γιατί, τότε και το 1+3 και το 3+1 είναι ίσα με 4.
Αν αλλάζαμε τη σειρά αυτών των δύο όρων, η απάντηση θα ήταν και πάλι 4. Στην πραγματικότητα, κάθε δυαδική πράξη (συμπεριλαμβανομένης της κενού πράξης) είναι ανταλλάξιμη σε ένα πεδίο ή έναν δακτύλιο.
Μια αντιμεταθετική πράξη είναι μια πράξη στα μαθηματικά του οποίου η σειρά δεν έχει σημασία. Με άλλα λόγια, το αποτέλεσμα οποιωνδήποτε δύο πράξεων με τους ίδιους τελεστές είναι πάντα το ίδιο ανεξάρτητα από τη σειρά τους.
Οι συναλλαγματικές πράξεις είναι πολύ σημαντικές για την απλούστευση των μαθηματικών παραστάσεων και την αποφυγή σφαλμάτων σειράς πράξεων.
Μια πράξη αντικατάστασης ορίζεται ως μια πράξη που μπορεί να αντιστραφεί.
Για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός δύο αριθμών είναι ανταλλάξιμος γιατί πολλαπλασιάζοντας τον πρώτο αριθμό με τον δεύτερο αριθμό ή το αντίστροφο θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα.
Εάν χρησιμοποιήσουμε τον τελεστή + σε δύο αριθμούς, το αποτέλεσμα μπορεί να μην είναι πάντα το ίδιο.
Τι είναι το Associative;
Η αφαίρεση ενός αριθμού από τον άλλο και μετά η αφαίρεση του δεύτερου αριθμού από τον πρώτο θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με την αφαίρεση αυτών των δύο αριθμών με οποιαδήποτε σειρά.
Η συσχετιστική ιδιότητα μας επιτρέπει να ξαναγράψουμε εκφράσεις με διαφορετικούς τρόπους χωρίς να αλλάξουμε την αξία τους. Για παράδειγμα, αν έχουμε δύο συναρτήσεις, f(x) και g(x).
Μια συσχετιστική πράξη είναι μια γενίκευση μιας πράξης που ορίζεται μεταξύ στοιχείων από μια ομάδα που έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα.
Οι συνειρμικές πράξεις είναι κοινές σε πολλούς τομείς, όπως τα μαθηματικά, η φυσική, η φιλοσοφία, η γλωσσολογία και Πληροφορική.
Η πιο γνωστή συνειρμική πράξη είναι μια προσθήκη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Δηλαδή, για οποιουσδήποτε τρεις πραγματικούς αριθμούς, το άθροισμα είναι ανεξάρτητο από την ομαδοποίηση των τελεστών: για παράδειγμα.
Αυτό παραμένει αληθές εάν μία ή περισσότερες από τις αθροίσεις είναι μηδέν. Αυτή η ιδιότητα επεκτείνεται σε όλες τις πράξεις αντικατάστασης που περιλαμβάνουν πραγματικούς αριθμούς.
Η συνειρμική πράξη αντιπροσωπεύει μια αριθμητική πράξη που έχει το ίδιο αποτέλεσμα ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία αξιολογούνται οι τελεστές.
Η συνειρμική πράξη είναι μια σημαντική ιδιότητα του χάρτη που μας δίνει τη δυνατότητα να κάνουμε πράγματα όπως η πρόσθεση διανυσμάτων:
Ο συνειρμικός νόμος για τομή δηλώνει ότι η τομή τριών συνόλων μπορεί να υπολογιστεί ξεκινώντας από την τομή δύο συνόλων και στη συνέχεια εφαρμόζοντας την τομή στο τρίτο σύνολο.
Βασικές διαφορές μεταξύ ανταλλακτικής και συνειρμικής
- Το commutative προέρχεται από το commute, αλλά το associative προέρχεται από την ομάδα.
- Το Commutative μπορεί να αλλάξει αριθμούς, αλλά το Associative αναφέρεται στη δημιουργία των αριθμών σε μια ομάδα.
- Η μεταθετική είναι a+b = b+a, αλλά η Συνειρμική είναι a+(b+c) = (a+b)+c επιπλέον.
- Η μεταθετική είναι axb = bxa, αλλά η Συνειρμική είναι η ax (bxc) = (axb) xc στον πολλαπλασιασμό.
- Το Commutative μπορεί να αλλάξει τη σειρά των προσθηκών και των άκρων, αλλά το Associative μπορεί να αλλάξει την ομαδοποίηση των προσθηκών.
- Η αλλαγή στη σειρά των παραγόντων δεν αλλάζει την απάντηση και αλλάζει τη σειρά μιας ομάδας παραγόντων.
- https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0732312312000351
- https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/2167702612455742
Τελευταία ενημέρωση: 11 Ιουνίου 2023
Έχω καταβάλει τόση προσπάθεια γράφοντας αυτήν την ανάρτηση ιστολογίου για να σας προσφέρω αξία. Θα είναι πολύ χρήσιμο για μένα, αν σκέφτεστε να το μοιραστείτε στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης ή με τους φίλους/την οικογένειά σας. Η ΚΟΙΝΟΠΟΙΗΣΗ ΕΙΝΑΙ ♥️
Ο Piyush Yadav έχει περάσει τα τελευταία 25 χρόνια δουλεύοντας ως φυσικός στην τοπική κοινότητα. Είναι ένας φυσικός που θέλει να κάνει την επιστήμη πιο προσιτή στους αναγνώστες μας. Είναι κάτοχος πτυχίου Φυσικών Επιστημών και Μεταπτυχιακού Διπλώματος στην Επιστήμη του Περιβάλλοντος. Μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα για αυτόν στο δικό του βιο σελίδα.
Εντυπωσιακή σύγκριση ανταλλάξιμων και συνειρμικών πράξεων. Μια διεξοδική εξήγηση των μαθηματικών αρχών που εμπλέκονται. Για όσους είναι λιγότερο έμπειροι στα μαθηματικά, αυτό θα μπορούσε να είναι λίγο συντριπτικό.
Είναι πράγματι ένα θέμα που εμπλέκεται, αλλά είναι απαραίτητο για μια σταθερή κατανόηση των μαθηματικών. Η ανάρτηση καταφέρνει καλά να εμβαθύνει σε αυτές τις λειτουργίες.
Πολλοί μπορεί να το βρίσκουν υπερβολικό για να τυλίγουν τα κεφάλια τους, αλλά για όσους τείνουν προς τα μαθηματικά, αυτό είναι ένα χρυσωρυχείο πληροφοριών.
Φαίνεται ότι οι αντισταθμιστικές και συνειρμικές ιδιότητες είναι πολύ σημαντικές στην απλοποίηση των μαθηματικών εκφράσεων και βοηθούν στην αποφυγή λαθών. Αυτό είναι πράγματι ένα ενημερωτικό άρθρο.
Τόσο οι ανταλλάξιμες όσο και οι συνειρμικές πράξεις μπορούν να φανούν σε διάφορους τομείς, καθιστώντας αυτό ένα κομμάτι που υπογραμμίζει τη σημασία αυτών των ιδιοτήτων πέρα από τα μαθηματικά.
Χαίρομαι που το άρθρο ασχολήθηκε επίσης με τη μεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, που επισκιάζεται από τη μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης. Η κατανόηση αυτών των ιδιοτήτων είναι ζωτικής σημασίας στα μαθηματικά.
Πραγματικά ενδιαφέρουσα ανάρτηση, ο πίνακας σύγκρισης είναι πολύ χρήσιμος και διευκολύνει την κατανόηση των διαφορών μεταξύ Commutative και Associative στις μαθηματικές πράξεις.
Η λεπτομερής ανάλυση των ιδιοτήτων αντικατάστασης και συσχέτισης είναι πολύ χρήσιμη, αλλά θα εμπλουτιστεί περαιτέρω με παραδείγματα που δείχνουν την εφαρμογή στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων.