Dot Product vs Cross Product: Difference and Comparison

Η διανυσματική άλγεβρα είναι αναπόσπαστο μέρος της Φυσικής και των Μαθηματικών. Απλοποιεί τους υπολογισμούς και βοηθά στην ανάλυση μιας μεγάλης ποικιλίας χωρικών εννοιών.

Ένα διάνυσμα μπορεί να χειριστεί χρησιμοποιώντας δύο βασικές πράξεις. Αυτές οι πράξεις είναι τα γινόμενα με τελείες και σταυρούς, με τεράστιες διαφορές.

Βασικές τακτικές

1. Μαθηματική πράξη: Το γινόμενο με τελείες υπολογίζει το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων, ενώ το διασταυρούμενο γινόμενο υπολογίζει το γινόμενο του διανύσματος.
2. Αποτέλεσμα: Το γινόμενο με κουκκίδες αποδίδει μια κλιμακωτή ποσότητα, ενώ το διασταυρούμενο προϊόν παράγει ένα διάνυσμα.
3. Ορθογωνικότητα: Το γινόμενο κουκίδων είναι μηδέν όταν τα διανύσματα είναι ορθογώνια, ενώ το εγκάρσιο γινόμενο έχει ως αποτέλεσμα ένα διάνυσμα κάθετο στα αρχικά διανύσματα.

Dot Product vs Cross Product

Η διαφορά μεταξύ του γινόμενου κουκίδων και του διασταυρούμενου γινόμενου δύο διανυσμάτων είναι ότι το αποτέλεσμα είναι α βαθμωτό μέγεθος ποσότητα, ενώ η ανάπτυξη του διασταυρούμενου προϊόντος είναι μια διανυσματική ποσότητα.

Ένα γινόμενο κουκίδων δύο διανυσμάτων ονομάζεται επίσης βαθμωτό γινόμενο. Είναι το γινόμενο του μεγέθους των δύο διανυσμάτων και του συνημιτόνου της γωνίας που σχηματίζουν μεταξύ τους.

Ένα διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων ονομάζεται επίσης διανυσματικό γινόμενο. Είναι το γινόμενο του μεγέθους των δύο διανυσμάτων και του ημιτόνου της γωνίας που σχηματίζουν μεταξύ τους.

---

 

Συγκριτικός πίνακας

Παράμετρος Σύγκρισης	Προϊόν Dot	Cross Product
Γενικός Ορισμός	Το γινόμενο με τελείες είναι το γινόμενο του μεγέθους των διανυσμάτων και του συν της μεταξύ τους γωνίας.	Ένα διασταυρούμενο γινόμενο είναι το γινόμενο του μεγέθους των διανυσμάτων και του ημιτόνου της γωνίας που υποτάσσονται μεταξύ τους.
Μαθηματική Σχέση	Το κουκκίδα γινόμενο δύο διανυσμάτων Α και Β παριστάνεται ως: Α.Β = ΑΒ cos θ	Το διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων Α και Β ορίζεται ως Α × Β = ΑΒ sin θ
Επακόλουθο	Το προκύπτον του γινόμενου κουκίδων των διανυσμάτων είναι μια κλιμακωτή ποσότητα.	Το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι μια διανυσματική ποσότητα.
Ορθογωνικότητα διανυσμάτων	Το γινόμενο με τελείες είναι μηδέν όταν τα διανύσματα είναι ορθογώνια (θ = 90°).	Το διασταυρούμενο γινόμενο είναι μέγιστο όταν τα διανύσματα είναι ορθογώνια (θ = 90°).
Ανταλλαγή	Το γινόμενο κουκίδων δύο διανυσμάτων ακολουθεί τον μεταθετικό νόμο: A. B = B. A	Το διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων δεν ακολουθεί τον μεταθετικό νόμο: A × B ≠ B × A

---

 

Τι είναι το προϊόν Dot;

Ένα γινόμενο κουκίδων ή βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι το γινόμενο των μεγεθών τους και του συνημιτόνου της γωνίας που υποτάσσεται από το ένα διάνυσμα στο άλλο.

Αντιπροσωπεύεται ως:

A·Β = |A| |Β| cos θ

Το αποτέλεσμα είναι μια κλιμακωτή ποσότητα, επομένως έχει μόνο μέγεθος αλλά όχι κατεύθυνση.

Παίρνουμε το συνημίτονο της γωνίας για να υπολογίσουμε το γινόμενο με τελείες έτσι ώστε τα διανύσματα να ευθυγραμμίζονται προς την ίδια κατεύθυνση. Με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνουμε την προβολή του ενός διανύσματος πάνω στο άλλο.

Για διανύσματα με n διαστάσεις, το γινόμενο με τελείες δίνεται από:

A·Β = Σ α¡b¡

Το προϊόν με κουκκίδες έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

• Είναι ανταλλακτική.

Α· b = b·α

• Ακολουθεί τον διανεμητικό νόμο.

Α· ( b+c) = α·b + α·c

• Ακολουθεί τον βαθμωτό νόμο πολλαπλασιασμού.

( λα) · ( μb) = λμ ( α· β)

 

Τι είναι το Cross Product;

Ένα εγκάρσιο γινόμενο ή το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι το γινόμενο των μεγεθών τους και του ημιτόνου της γωνίας που υποβάλλεται από το ένα πάνω στο άλλο.

Αντιπροσωπεύεται ως:

A×Β = |A| |Β| αμαρτία θ

Το αποτέλεσμα είναι μια άλλη διανυσματική ποσότητα. Το διάνυσμα που προκύπτει είναι κάθετο και στα δύο διανύσματα. Η κατεύθυνσή του μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Οι παρακάτω κανόνες πρέπει να τηρούνται νου κατά τον υπολογισμό του διασταυρούμενου προϊόντος:

• I × j = k
• J × k = i
• K × I = j

Τα I, j και k είναι τα μοναδιαία διανύσματα στην κατεύθυνση x, y και z, αντίστοιχα.

Το διασταυρούμενο προϊόν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

• Είναι αντι-ανταλλακτικό.

a× b = – (b × α)

• Ακολουθεί τον διανεμητικό νόμο.

a × ( b+c) = α × b + α × γ

• Ακολουθεί τον βαθμωτό νόμο πολλαπλασιασμού.

( λα) × ( β) = λ ( α × β)

---

Κύριες διαφορές μεταξύ του προϊόντος με κουκκίδες και του διασταυρούμενου προϊόντος

Το γινόμενο με τελείες και το διασταυρούμενο γινόμενο επιτρέπουν υπολογισμούς σε διάνυσμα άλγεβρα. Έχουν διαφορετικές εφαρμογές και διαφορετικές μαθηματικές σχέσεις.

Οι κύριες διαφορές μεταξύ των δύο είναι:

1. Εάν δύο διανύσματα είναι ορθογώνια, το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν, ενώ το εγκάρσιο γινόμενο τους είναι μέγιστο.
2. Το γινόμενο με τελείες ακολουθεί τον νόμο της αντιμετάθεσης, ενώ το διασταυρούμενο γινόμενο είναι αντι-ανταλλαγή.

---

αναφορές

1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
2. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf

Τελευταία ενημέρωση: 11 Ιουνίου 2023