PDF εναντίον PMF: Διαφορά και σύγκριση

Για να κατανοήσετε τη διαφορά μεταξύ PDF και PMF, είναι απαραίτητο να κατανοήσετε τι είναι οι Τυχαίες μεταβλητές. Μια τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή της οποίας η τιμή δεν είναι γνωστή στην εργασία. Με άλλα λόγια, η τιμή εξαρτάται από το αποτέλεσμα του πειράματος.

Για παράδειγμα, κατά την ανατροπή ενός νομίσματος, η αξία, π.χ. κεφάλια ή ουρές, εξαρτάται από το αποτέλεσμα.

Βασικές τακτικές

1. Το PDF (Probability Density Function) είναι μια στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τις πιθανότητες συνεχών τυχαίων μεταβλητών εντός ενός δεδομένου εύρους.
2. Η PMF (Πιθανότητα Μάζας Συνάρτησης) είναι μια στατιστική συνάρτηση που περιγράφει τις πιθανότητες διακριτών τυχαίων μεταβλητών, εκχωρώντας μια πιθανότητα σε κάθε πιθανό αποτέλεσμα.
3. Το PDF και το PMF αντιπροσωπεύουν τις κατανομές πιθανοτήτων τυχαίων μεταβλητών, αλλά διαφέρουν στην εφαρμογή τους, με το PDF να χρησιμοποιείται για συνεχείς μεταβλητές και το PMF για διακριτές μεταβλητές.

PDF εναντίον PMF

PDF, γνωστό και ως πιθανότητα πυκνότητα συνάρτηση, είναι μια μαθηματική συνάρτηση που χρησιμοποιείται όταν υπάρχει λύση που πρέπει να βρεθεί μέσα σε ένα εύρος συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Η PMF, γνωστή και ως συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι μια συνάρτηση που χρησιμοποίησε διακριτές τυχαίες μεταβλητές για να βρει μια λύση.

Το PDF και το PMF σχετίζονται με τη φυσική, τα στατιστικά, λογισμός, ή ανώτερα μαθηματικά. Το PDF (Probability Density Function) είναι η πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής στο εύρος των διακριτών τιμών.

Από την άλλη πλευρά, η PMF (Πιθανότητα Μάζας Συνάρτηση) είναι η πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής στο εύρος των συνεχών τιμών.

---

 

Συγκριτικός πίνακας

Παράμετρος σύγκρισης	PDF	MFP
Πλήρη μορφή	Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανοτήτων	Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
Χρήση	Το PDF χρησιμοποιείται όταν υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μια λύση σε μια σειρά από συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.	Το PMF χρησιμοποιείται όταν απαιτείται η εύρεση λύσης σε ένα εύρος διακριτών τυχαίων μεταβλητών.
Τυχαίες Μεταβλητές	Το PDF χρησιμοποιεί συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.	Το PMF χρησιμοποιεί διακριτές τυχαίες μεταβλητές.
Τύπος	F(x)= P(a < x 0	p(x)= P(X=x)
Λύση	Η λύση εμπίπτει στην περιοχή ακτίνας συνεχών τυχαίων μεταβλητών	Οι Λύσεις εμπίπτουν στην ακτίνα μεταξύ των αριθμών των διακριτών τυχαίων μεταβλητών

---

 

Τι είναι το PDF;

Η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (PDF) απεικονίζει συναρτήσεις πιθανότητας με όρους συνεχών τιμών τυχαίων μεταβλητών μεταξύ ενός ακριβούς εύρους τιμών.

Είναι επίσης γνωστή ως συνάρτηση κατανομής πιθανότητας ή συνάρτηση πιθανότητας. Συμβολίζεται με f(x). 

Το PDF είναι ουσιαστικά μια μεταβλητή πυκνότητα σε ένα δεδομένο εύρος. Είναι θετικό/μη αρνητικό σε οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος και το πλήρες PDF ισούται πάντα με ένα.

Σε μια περίπτωση όπου η πιθανότητα του X σε κάποια δεδομένη τιμή x (συνεχής τυχαία μεταβλητή) είναι πάντα 0. Το P(X = x) δεν λειτουργεί σε μια τέτοια περίπτωση.

Σε μια τέτοια περίπτωση, πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα ηρεμίας του X σε ένα διάστημα (a, b) μαζί με το P(a< X< b) που μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας ένα PDF.

Ο τύπος της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας ορίζεται ως, F(x)= P(a < x < b)= ∫^b_a f(x)dx>0

Μερικές περιπτώσεις όπου η συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων μπορεί να λειτουργήσει είναι:

1. Θερμοκρασία, βροχοπτώσεις και γενικός καιρός
2. Χρόνος που χρειάζεται ο υπολογιστής για να επεξεργαστεί τα δεδομένα εισόδου και να δώσει έξοδο

Και πολλά περισσότερα.

Διάφορες εφαρμογές της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (PDF) είναι:

1. Το PDF χρησιμοποιείται για τη διαμόρφωση των δεδομένων της ατμοσφαιρικής χρονικής συγκέντρωσης NOx ετησίως.
2. Επεξεργάζεται για να διαμορφώσει την καύση του κινητήρα ντίζελ.
3. Λειτουργεί με βάση τις πιθανότητες που συνδέονται με τυχαίες μεταβλητές στα στατιστικά στοιχεία.

 

Τι είναι το PMF;

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας εξαρτάται από τις τιμές οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού. Δεν πηγαίνει στην τιμή του Χ, που ισούται με μηδέν. Στην περίπτωση του x, η τιμή του PMF είναι θετική.

Το PMF παίζει σημαντικό ρόλο στον καθορισμό μιας διακριτής κατανομής πιθανοτήτων και παράγει διακριτά αποτελέσματα. Ο τύπος του PMF είναι p(x)= P(X=x) δηλαδή η πιθανότητα του (x)= η πιθανότητα (X=ένα συγκεκριμένο x)

Καθώς δίνει διακριτές τιμές, το PMF είναι πολύ χρήσιμο στον προγραμματισμό υπολογιστών και στη διαμόρφωση στατιστικών.

Με απλούστερους όρους, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας ή PMS είναι μια συνάρτηση που σχετίζεται με διακριτά γεγονότα, δηλαδή πιθανότητες που σχετίζονται με αυτά τα γεγονότα που συμβαίνουν.

Η λέξη «μάζα» εξηγεί τις πιθανότητες που επικεντρώνονται σε διακριτά γεγονότα.

Μερικές από τις εφαρμογές της συνάρτησης μάζας πιθανότητας (PMF) είναι:

1. Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας (PMF) είναι κεντρική στις στατιστικές καθώς βοηθά στον καθορισμό των πιθανοτήτων για διακριτές τυχαίες μεταβλητές.
2. Το PMF χρησιμοποιείται για την εύρεση του μέσου όρου και διακύμανση της διακριτής ομαδοποίησης.
3. Το PMF χρησιμοποιείται σε διωνυμικές κατανομές και κατανομές Poisson όπου χρησιμοποιούνται διακριτές τιμές.

Μερικές περιπτώσεις όπου η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μπορεί να λειτουργήσει είναι:

1. Αριθμός μαθητών σε μια τάξη
2. Αριθμοί σε ζάρια
3. Όψεις νομίσματος
4. Και πολλά περισσότερα.

---

Κύριες διαφορές μεταξύ PDF και PMF 

1. Η πλήρης μορφή του PDF είναι Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας, ενώ η πλήρης μορφή του PMF είναι Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας.
2. Το PMF χρησιμοποιείται όταν υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μια λύση σε μια σειρά από διακριτές τυχαίες μεταβλητές, ενώ το PDF χρησιμοποιείται όταν υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μια λύση σε μια σειρά συνεχών τυχαίων μεταβλητών.
3. Το PDF χρησιμοποιεί συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, ενώ το PMF χρησιμοποιεί διακριτές τυχαίες μεταβλητές.
4. Ο τύπος Pdf είναι F(x)= P(a < x < b)= ∫^b_a f(x)dx>0 ενώ ο τύπος pmf είναι p(x)= P(X=x)
5. Οι λύσεις του PDF εμπίπτουν στην ακτίνα συνεχών τυχαίων μεταβλητών, ενώ οι λύσεις του PMF εμπίπτουν στην ακτίνα μεταξύ των αριθμών των διακριτών τυχαίων μεταβλητών

---

αναφορές

1. https://amstat.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10485250701733747
2. https://www.mitpressjournals.org/doi/abs/10.1162/0899766053723078

Τελευταία ενημέρωση: 11 Ιουνίου 2023