Aksioom vs teoreem: erinevus ja võrdlus

Aksioomid on nii matemaatiliste väidete või loogiliste seletuste nurgakivi kui ka teoreemide lähtepunkt.

Teoreemide tuletamiseks kasutatakse sageli aksioome ja muid loogilisi sidemeid.

Võtme tagasivõtmine

1. Aksioomid on iseenesestmõistetavad tõed või aluspõhimõtted, mis ei vaja tõestust ega õigustust.
2. Teoreemid on väited, mis nõuavad nende tõesuse kindlakstegemiseks loogilist tõestust.
3. Teoreemid põhinevad aksioomidel ja varem tõestatud teoreemidel, et laiendada meie arusaamist matemaatilistest mõistetest.

Aksioom vs teoreem

Aksioomid on põhieeldused, mida aktsepteeritakse ilma tõestuseta, teoreemid aga väited, mida saab loogiliselt tuletada aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Teoreemid annavad uusi teadmisi ja arusaamist matemaatilistest mõistetest, aksioomid aga a sihtasutus matemaatilise arutluse jaoks.

Aksioomid on laialt tunnustatud ja aktsepteeritud tõed. Neil pole aga mingeid konkreetseid tõendeid ega praktilist viisi selle väite kinnitamiseks.

Enamik aksioome seisavad silmitsi mitme intellektuaalse meelega inimeste väljakutsetega. Aja jooksul selgub, kas nad on geeniused või hullud.

Mitteloogilised ja loogilised aksioomid jagunevad nende aktsepteeritavuse alusel kahte kategooriasse.

Teoreeme demonstreeritakse muude väidete, näiteks aksioomide või üldtunnustatud propositsioonide abil.

Teoreemid, mitte aksioomid, seisavad tõenäolisemalt silmitsi raskustega, kuna nende suhtes rakendatakse mitmesuguseid tuletusmeetodeid ja tõlgendusi.

Teoreemide kategoriseerimiseks kasutatakse järeldust ja hüpoteesi. Pole vahet, kas teoreem on tõene või mitte; seda on vaja tõestada.

Võrdlustabel

Võrdlusparameetrid	aksioom	Teoreem
Tõde	Peetakse tõeks, alati.	See võib olla tõsi, ei pruugi olla tõsi.
Vastuvõtmine	Üldtunnustatud	Võib aktsepteerida ainult siis, kui need on tõestatud.
Väljakutsed silmitsi	Suhteliselt vähem	Suhteliselt kõrge
Sihtasutus	Aksioomide juhtimisel	Teoreemid on tuletatud aksioomidest
Tõend	Ei nõua tõestust	Nõuab tõendit

Mis on Axiom?

Aksioome peetakse üldiselt tõeseks ja aktsepteeritakse. Aksioomid on matemaatiliste väidete või loogiliste selgituste aluskivi, samuti teoreemide alguspunkt.

Enamikule aksioomidest seavad väljakutse erinevad intellektuaalse meelega inimesed. Küll aga selgub aja jooksul, kas tegu on geeniustega või hulludega.

Aksioomid liigitatakse nende aktsepteeritavuse alusel mitteloogilisteks või loogilisteks.

Aksioom on õige väide, eriti loogikal põhinev väide, mida ei saa demonstreerida ega tõestada. Teisest küljest peetakse neid sageli iseenesestmõistetavateks.

Aksioomid on laialdaselt tunnustatud ja aktsepteeritud tõed. Neil ei ole aga selle väite toetuseks mingit konkreetset tõendit ega praktilist viisi.

Teisest küljest on mitteloogilised aksioomid loogilised formuleeringud, mida kasutatakse matemaatiliste teooriate koostamisel. Seal ei ole nõue mis tahes tüüpi tõendite puhul aksioomi puhul.

Kinnitatud kehtivaid väiteid nimetatakse loogilisteks aksioomideks.

Mis on teoreem?

Alati ei saa eeldada, et teoreemid on õiged. Need võivad olla isegi petlikud.

Teoreemid tuletatakse sageli aksioomidest ja juba olemasolevatest täiendavatest loogilistest seostest. Pole vahet, kas teoreem on tõene või mitte; see nõuab tõendeid.

Enamasti seisavad teoreemid silmitsi rohkem raskustega kui aksioomid, kuna nende suhtes rakendatakse mitmesuguseid tuletusmeetodeid ja tõlgendusi.

Teoreemi kahte komponenti, nagu järeldus ja hüpotees, kasutatakse sageli nende kategoriseerimiseks.

Teoreem on definitsiooni järgi väide, mis on tõestatud eelnevate teoreemide, aksioomide ja muude loogiliste seoste komplekti abil.

Teoreemid luuakse loogilise argumendi ja range matemaatika abil.

Teoreeme tõestatakse sageli täiendavate väidete, näiteks aksioomide või üldtunnustatud propositsioonide abil.

Peamised erinevused aksioomi ja teoreemi vahel

1. Aksioomi peetakse tõeseks väiteks, eriti loogikapõhiseks, mida ei saa demonstreerida ega tõestada. Neid võetakse aga iseenesestmõistetavatena arvesse.
2. Teisest küljest loetakse teoreemiks definitsiooni järgi väidet, mis on tõestatud teiste teoreemide, aksioomide ja muude loogiliste seoste hulga abil.
3. Aksioomid on üldtunnustatud ja neid peetakse tõeseks. Siiski ei ole neil selle väite tõestamiseks ühtegi konkreetset tõendit ega praktilist viisi.
4. Teisest küljest tõestatakse teoreeme loogilise arutluskäigu ja range matemaatika abil. Väited, mille kaudu teoreeme tõestatakse, tõestatakse teiste väidete, näiteks aksioomide või üldtunnustatud väidete abil.
5. Enamik aksioome seisavad silmitsi paljude väljakutsetega erinevate intellektuaalse meelega indiviidide poolt. Aja jooksul saab aga teada, et tegemist on geeniustega või pätid.
6. Teisest küljest on teoreemide puhul enamasti suurem väljakutse kui aksioomidel, kuna nende suhtes rakendatakse erinevaid tuletamismeetodeid ja tõlgendusi.
7. Aksioomid liigitatakse nende aktsepteeritavuse alusel mitteloogilisteks ja loogilisteks. Loogilised aksioomid viitavad kehtivatele väidetele, mis on üldtunnustatud, samas kui mitteloogilised aksioomid viitavad neile loogilistele avaldistele, mida kasutatakse matemaatiliste teooriate koostamisel.
8. Teisest küljest liigitatakse teoreemid nende kahe komponendi, nagu järeldus ja hüpotees, alusel.
9. Aksioomi puhul ei nõuta mingit tüüpi tõestust. Seevastu teoreemi puhul pole vahet, kas see on tõene või väär, kuid see vajab tõestust.
10. Üldiselt eeldatakse ja peetakse aksioome tõeseks. Teisest küljest ei saa eeldada, et teoreemid on alati tõesed. Need võivad olla isegi valed.
11. Matemaatiliste väidete või loogiliste selgituste aluskivi on LED aksioomide järgi, kuna need toimivad ka teoreemide alguspunktina. Teisest küljest tuletatakse teoreemid aksioomidest ja muudest olemasolevatest loogilistest konnektiividest.

viited

1. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0049237X0871111X
2. https://arxiv.org/abs/2108.13336

Viimati värskendatud: 11. juunil 2023