यूलेरियन बनाम लैग्रेंजियन: अंतर और तुलना

मैक्रोपार्टिकल्स पर लागू होने वाले गणितीय सूत्र और नियम माइक्रोपार्टिकल्स के व्यवहार का अध्ययन करते समय लागू नहीं हो सकते हैं। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न गणितीय दृष्टिकोण डिज़ाइन किए गए हैं, और सूक्ष्म पैमाने के कणों की ऐसी गणितीय समस्याओं का विश्लेषण और समाधान करते समय यूलेरियन और लैग्रेंजियन दोनों दृष्टिकोणों का उपयोग किया जाता है।

चाबी छीन लेना

1. यूलेरियन विधि एक निश्चित स्थान पर द्रव प्रवाह का अध्ययन करती है, जबकि लैग्रेंजियन विधि एक विशिष्ट बिंदु पर द्रव प्रवाह का अध्ययन करती है।
2. यूलेरियन विधि का उपयोग बड़े पैमाने पर तरल गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जबकि लैग्रेंजियन विधि का उपयोग छोटे पैमाने पर तरल गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है।
3. यूलेरियन विधि गैस गतिकी के मॉडलिंग के लिए उपयुक्त है, जबकि लैग्रेंजियन विधि कण परिवहन के मॉडलिंग के लिए उपयुक्त है।

यूलेरियन बनाम लैग्रेंजियन

यूलेरियन और लैग्रेंजियन के बीच अंतर यह है कि यूलेरियन पद्धति में, स्थान और समय के कार्यों के संदर्भ में नियंत्रण मात्रा के प्रवाह गुणों पर अधिक ध्यान दिया जाता है। लैग्रेंजियन विधि में, प्रवाह की मात्रा को बड़ी संख्या में कणों से बना माना जाता है, और व्यक्तिगत कणों पर अधिक ध्यान दिया जाता है।

यूलेरियन गणितीय दृष्टिकोण का उपयोग द्रव प्रवाह या कणों की मात्रा के प्रवाह से जुड़ी गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। प्रवाह को स्थान और समय दोनों के कार्य और प्रवाह के विभिन्न गुणों के रूप में माना जाता है, जैसे तापमान, रिकार्ड किया जाता है और अध्ययन किया जाता है। इस दृष्टिकोण में, वास्तविक प्रवाह पर अधिक ध्यान दिया जाता है।

लैग्रेंजियन दृष्टिकोण द्रव प्रवाह को बड़ी संख्या में कणों से बना मानता है। इस दृष्टिकोण में, प्रवाह के गुणों, जैसे गति की दिशा और कणों की गति को परिभाषित करके व्यक्तिगत कणों का अध्ययन करके द्रव प्रवाह का अध्ययन किया जाता है। इस प्रकार कणों को ट्रैक किया जाता है क्योंकि यह प्रवाह मात्रा के माध्यम से आगे बढ़ता है।

तुलना तालिका

तुलना के पैरामीटर	यूलेरियन	लाग्रंगियन
परिभाषा	कणों के प्रवाह का अध्ययन करने के लिए गणितीय दृष्टिकोण लियोनहार्ड यूलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था	गणितीय दृष्टिकोण का उपयोग कणों के प्रवाह का अध्ययन करने के लिए किया जाता था और इसे लुई लैग्रेंज द्वारा प्रस्तावित किया गया था
एकाग्रता	एक निश्चित बिंदु पर प्रवाह गुणों पर फोकस दिया जाता है	किसी एक कण के गुणों को परिभाषित करके उस पर फोकस दिया जाता है
दृष्टिकोण	अवलोकन का बिंदु निश्चित है और केवल द्रव प्रवाह में परिवर्तन नोट किया जाता है	विभिन्न स्थानों पर संपत्ति के मूल्यों में परिवर्तन होने पर अवलोकन का बिंदु बदल जाता है
विधि	प्रवाह को विभिन्न गुणों के साथ स्थान और समय के कार्य में वर्णित किया गया है	प्रवाह को विशिष्ट गुणों वाले व्यक्तिगत कणों के संदर्भ में वर्णित किया गया है
प्रयोग	यूलेरियन दृष्टिकोण का प्रयोग आमतौर पर किया जाता है	लैग्रेंजियन दृष्टिकोण का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है

यूलेरियन क्या है?

आयतन में निलंबित कणों के प्रवाह का अध्ययन करने के लिए लियोनहार्ड यूलर द्वारा प्रस्तावित गणितीय दृष्टिकोण को यूलरियन दृष्टिकोण के रूप में जाना जाता है।

यह दृष्टिकोण व्यक्तिगत कणों की तुलना में आयतन के वास्तविक प्रवाह पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है। यह स्थान और समय फ़ंक्शन के संदर्भ में प्रवाह को परिभाषित करने और तापमान जैसे मापदंडों को स्थापित करके प्राप्त किया जाता है, जो प्रवाह से संबंधित हैं।

इस प्रकार दृष्टिकोण की सांद्रता कणों का प्रवाह है। अवलोकन प्रवाह की मात्रा में अवलोकन के एक बिंदु का चयन करके और बिंदु को ठीक करके प्रवाह का निर्धारण किया जाता है।

प्रवाह के मापदंडों को अवलोकन के निश्चित बिंदु के माध्यम से दर्ज किया जाता है, और इनमें परिवर्तन होता है पैरामीट्रिक मूल्यों को नोट कर लिया जाता है।

प्रवाह की विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए किए गए अवलोकनों को संपूर्ण प्रवाह मात्रा के साथ एक्सट्रपलेशन किया जाता है। इस प्रकार इस दृष्टिकोण का उपयोग ज्यादातर निरंतर प्रवाह वातावरण में निलंबित गैसीय प्रवाह कणों या माइक्रोपार्टिकल्स की प्रवाह विशेषताओं को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

माइक्रोपार्टिकल्स के अस्थिर फैलाव के अध्ययन के लिए अन्य गणितीय फॉर्मूलेशन की तुलना में इस विधि का अधिक उपयोग किया जाता है। चूँकि प्रवाह पैटर्न लगातार बदलता रहता है, इस पद्धति का उपयोग करके गणितीय मॉडल बनाने के लिए सैकड़ों पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है।

लैग्रेंजियन क्या है?

लैग्रेंजियन दृष्टिकोण एक गणितीय सूत्रीकरण है जिसका उपयोग किसी आयतन की प्रवाह विशेषता का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। इसका सूत्रीकरण लुईस लैग्रेंज द्वारा किया गया था।

लैग्रेंजियन विधि प्रवाह की मात्रा को बड़ी संख्या में कणों से बना मानती है। इस प्रकार, द्रव प्रवाह विशेषताओं की गणना व्यक्तिगत कणों के प्रवाह मापदंडों को समझकर की जाती है। 

यह दृष्टिकोण प्रवाह आयतन में एक कण का चयन करके और उसे कण पर स्थिर करके किया जाता है। प्रवाह की विशेषताएँ, जैसे गति की दिशा और गति, कण को ​​निर्दिष्ट की जाती हैं।

कण की गति को रिकॉर्ड किया जाता है, और पैरामीट्रिक मात्रा में परिवर्तन को नोट किया जाता है। जैसे-जैसे विभिन्न स्थानों में प्रवाह के पैरामीटर बदलते हैं, कण का अवलोकन पूरे प्रवाह मात्रा में विभिन्न बिंदुओं पर किया जाता है।

इस प्रकार प्रवाह मात्रा में विभिन्न बिंदुओं पर अलग-अलग अवलोकन दर्ज किए जाते हैं, और कण के प्रवाह में विशेषताओं में परिवर्तन की गणना की जाती है। द्रव प्रवाह की प्रकृति निर्धारित करने के लिए इन परिवर्तनों को संपूर्ण प्रवाह मात्रा में एक्सट्रपलेशन किया जाता है।

अवलोकन के लिए आवश्यक सेटिंग में कठिनाई के कारण इस विधि का उपयोग यूलेरियन विधि के समान व्यापक रूप से नहीं किया जाता है। इस पद्धति में त्रुटियों की संभावना भी अधिक है क्योंकि ऐसे सूक्ष्म अवलोकन भौतिक रूप से करना कठिन होता है।

यूलेरियन और लैग्रेंजियन के बीच मुख्य अंतर

1. यूलेरियन विधि लियोनहार्ड यूलर द्वारा बनाया गया एक गणितीय सूत्रीकरण है। लैग्रेंजियन विधि लुई लैग्रेंज द्वारा बनाया गया एक गणितीय मॉडल है।
2. यूलेरियन विधि में कणों के प्रवाह पर अधिक ध्यान दिया जाता है। लैग्रेंजियन विधि में वास्तविक कणों पर अधिक ध्यान दिया जाता है।
3. यूलेरियन विधि में अवलोकन का बिंदु निश्चित होता है। लैग्रेंजियन विधि में अवलोकन का बिंदु कण के साथ बदलता रहता है।
4. यूलेरियन विधि प्रवाह को स्थान और समय का एक कार्य मानती है। लैग्रेंजियन विधि व्यक्तिगत कणों की विशेषताओं के संदर्भ में आयतन प्रवाह पर विचार करती है।
5. लैग्रेंजियन गणितीय दृष्टिकोण की तुलना में तरल या गैसीय वातावरण में द्रव प्रवाह को निर्धारित करने के लिए यूलेरियन गणितीय दृष्टिकोण का अधिक उपयोग किया जाता है।

संदर्भ

1. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/004578259290042I
2. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021999174900515

अंतिम अद्यतन: 13 जुलाई, 2023