लंबवत बनाम ऑर्थोगोनल: अंतर और तुलना

जब ज्यामिति और गणित की बात आती है, तो अनेक शब्दों का अर्थ एक ही प्रतीत होता है, लेकिन ऐसा नहीं है! यही स्थिति लम्बवत युग्म और लंबकोणीय आकृति की भी है।

चाबी छीन लेना

1. लंबवत रेखाएं 90-डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, जबकि ऑर्थोगोनल रेखाएं या वेक्टर बहु-आयामी संदर्भ में लंबवत होते हैं।
2. लंबवतता विशेष रूप से ज्यामिति में रेखाओं या विमानों को संदर्भित करती है, जबकि ऑर्थोगोनैलिटी वेक्टर और फ़ंक्शन जैसी अधिक अमूर्त गणितीय अवधारणाओं पर लागू होती है।
3. दोनों शब्द उन वस्तुओं के बीच संबंध का वर्णन करते हैं जो स्थानिक या गणितीय अर्थ में परस्पर स्वतंत्र या असंबंधित हैं।

लंबवत बनाम ऑर्थोगोनल

लंब एक ऐसी स्थिति है जब दो अलग-अलग रेखाएं होती हैं जो कोण 90 पर मिलती हैं और दोनों रेखाएं आश्रित होती हैं जबकि कोण अचर होता है। ऑर्थोगोनल एक ऐसी स्थिति है जहां रेखाओं का एक सेट कोण 90 पर स्थित होता है, और दोनों रेखाएं सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होती हैं।

वे लंबवत तल हैं, जो सीधी रेखाएं हैं जो दो तल बनाती हैं जो एक निश्चित डिग्री पर मिलते हैं - समकोण। "जब दो तल या रेखाएँ 90° के कोण पर मिलती हैं, तो हम कहते हैं कि वे लंबवत हैं।"

इस घटना की घटना और यह स्थिति जहां एक समकोण बनता है जबकि रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर नहीं होती हैं, उसे लंब कहा जाता है।

वेक्टर फ़ील्ड में गैर-शून्य शामिल हो सकता है स्वयं- द्विरेखीय रूप पर आधारित ऑर्थोगोनल चर। उचित रूप से कार्य करने वाले समूहों का उपयोग वितरित मूल्यों के लिए आधार बनाने के लिए किया जाता है।

तुलना तालिका

तुलना के पैरामीटर	सीधा	ओर्थोगोनल
अर्थ (ज्यामितीय)	लंबवत पथ दो अलग-अलग रेखाएँ हैं जो 90-डिग्री के कोण पर मिलती हैं।	ऑर्थोगोनैलिटी, जब मैट्रिक्स तक विस्तारित होती है, तो यह सुविधा लंबवतता के बराबर होती है, हालांकि यह अधिक व्यापक रूप से कार्यात्मक पहलुओं पर भी लागू होती है।
रिश्ता	1. यदि दो रेखाएं मिलती हैं, तो एक पहली रेखा दूसरी पर "लंबवत" होती है और इसके विपरीत। 2. आपतन बिंदु पर, पहली रेखा के एक छोर पर सीधा (180) कोण दूसरे तल द्वारा दो संगत कोणों में विभाजित हो जाता है, जिससे वे लंबवत और लंबवत रूप से सकारात्मक बन जाते हैं।	1. एक ऑर्थोगोनल जोड़ी की संपत्ति और कार्यात्मक पहलू एक लंबवत के समान है। 2. एक ऑर्थोगोनल जोड़ी के दो वेक्टर घटकों का डॉट उत्पाद शून्य है।
सांख्यिकीय संबंध	दोनों रेखाएँ सांख्यिकीय रूप से निर्भर हैं, और यदि दोनों में से किसी एक को बदला जाए तो कोण स्थिर नहीं होते हैं।	एक ऑर्थोगोनल जोड़ी के दो घटक सांख्यिकीय रूप से एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं।
शब्दावली	तार्किक और ज्यामितीय शब्दावली.	वेक्टर भौतिकी के संबंध में गणितीय और ज्यामितीय शब्दावली।
शब्द-साधन	पुराने फ़्रेंच और लैटिन शब्द 'परपेंडिक्यूलरिस' का अर्थ है समतल का लंबवत।	16वीं सदी के अंत में: फ्रेंच से, ग्रीक पर आधारित ऑर्थोगोनिओस 'समकोण'.

लंबवत क्या है?

जब दो रेखाएं या समतल एक समकोण बनाते हुए प्रतिच्छेद करते हैं, तो दोनों रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत दिखाई देती हैं।

परिणामस्वरूप, हम दो तलों और रेखाओं को उनके अनुक्रम का उल्लेख किए बिना (एक दूसरे पर) लंबवत बता सकते हैं।

सभी क्रॉसिंग प्लेन या रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं, लेकिन सभी मिलने वाली रेखाएं लंबवत नहीं हैं एक दूसरे. लंबवत रेखाओं की दो प्राथमिक विशेषताएँ होती हैं:

1. वे रेखाएँ जो एक दूसरे से लंबवत होती हैं, मिलती हैं या काटती हैं।
2. दो रेखाखंडों से बना कोई भी कोण, जिसके लंबवत होने का दावा किया जाता है, हमेशा 90 डिग्री का होता है।

लंबों को "समानांतर" के साथ भ्रमित न करें, क्योंकि वे दो सीधी रेखाएं हैं जो एक दूसरे से अलग होती हैं और कभी भी एक दूसरे को नहीं काटती हैं, भले ही वे दोनों तरफ कितनी भी दूर क्यों न हों। हालाँकि, लंबवत, भले ही अनंत तक फैला हो, हमेशा एक दूसरे को काटते हैं या कहें तो एक दूसरे को "क्रॉस" करते हैं।

प्रतीक दो लंबवत रेखाओं का प्रतिनिधित्व करता है: ⊥।

ऑर्थोगोनल क्या है?

ऑर्थोगोनैलिटी, जब मैट्रिक्स तक विस्तारित होती है, तो यह सुविधा लंबवतता के बराबर होती है, हालांकि यह अधिक व्यापक रूप से कार्यात्मक पहलुओं पर भी लागू होती है।

एक आंतरिक उत्पाद संरचना लंबवत वैक्टर या फ़ंक्शंस के सेट के घटकों के संयोजन से उत्पन्न हो सकती है, जिसका अर्थ है कि अंतरिक्ष के किसी भी घटक को ऐसे सेट के सदस्यों से उत्पन्न किया जा सकता है।

जब आंशिक व्युत्पन्न एक सदिश है, तो डॉट उत्पाद (वेक्टर संचालन देखें); फ़ंक्शंस के लिए, उनके गुणन का निश्चित अभिन्न अंग - 0 है, और एन-आयामी स्थान के दो घटक हमेशा ऑर्थोगोनल होते हैं।

एक आंतरिक उत्पाद संरचना लंबवत वैक्टर या फ़ंक्शंस के सेट के घटकों के संयोजन से उत्पन्न हो सकती है, जिसका अर्थ है कि अंतरिक्ष के किसी भी घटक को ऐसे सेट के सदस्यों से उत्पन्न किया जा सकता है।

लंबवत और ऑर्थोगोनल के बीच मुख्य अंतर

1. लंबवत का अर्थ ऊर्ध्वाधर स्थिति भी है, जबकि ऑर्थोगोनल के अन्य अर्थों में शामिल हैं; "एक ही समस्या में दो या दो से अधिक स्थितियाँ"।
2. किसी वस्तु की स्थिति का वर्णन करने के लिए लंबवत अधिक उपयुक्त है, जबकि "ऑर्थोगोनल" शब्द का उपयोग उसी स्थिति को गणितीय रूप से सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

संदर्भ

1. https://www.britannica.com/science/orthogonality
2. https://www.cuemath.com/geometry/perpendicular/

अंतिम अद्यतन: 13 जुलाई, 2023