उड़ने वाले कीड़ों को छोड़कर, यहाँ कुछ और है जिससे अधिकांश लोग घृणा करते हैं: अंकगणित। जब अंकगणित की बात आती है, तो हम अक्सर भय से ग्रस्त हो जाते हैं।
ऐसा प्रतीत होता है कि संख्याएँ हमारी खोपड़ी को हिला रही हैं, और अंकगणित हमारी सारी जीवन ऊर्जा का उपभोग कर रहा है। हम गिनती से लेकर जटिल गणनाओं तक, अंकगणित के साथ लगातार बातचीत कर रहे हैं।
बहरहाल, हमें इससे निपटना होगा। टेलर और मैकलॉरिन से मुलाकात होनी चाहिए।
चाबी छीन लेना
- टेलर श्रृंखला एक विशिष्ट बिंदु पर उसके डेरिवेटिव के अनंत योग के रूप में एक फ़ंक्शन का गणितीय प्रतिनिधित्व है। इसके विपरीत, मैकलॉरिन श्रृंखला शून्य पर केंद्रित टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है।
- दोनों अनुमानित श्रृंखला कार्य करते हैं और पारलौकिक कार्यों या कठिन इंटीग्रल से जुड़ी जटिल गणितीय समस्याओं को हल करते हैं।
- टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला कैलकुलस, विश्लेषण और संख्यात्मक तरीकों सहित गणित के कई क्षेत्रों के लिए एक आधार प्रदान करती है।
टेलर बनाम मैकलॉरिन श्रृंखला
टेलर श्रृंखला एक फ़ंक्शन को एक बिंदु पर गणना किए गए शब्दों के अनंत योग के रूप में दर्शाती है। मैकलॉरिन श्रृंखला टेलर श्रृंखला का एक मामला है, जहां विस्तार का बिंदु शून्य है। शून्य पर फ़ंक्शन के सुविधाजनक गुणों के कारण मैकलॉरिन श्रृंखला के साथ काम करना आसान है।
टेलर श्रृंखला वास्तव में एक चर है जिसे एक के रूप में दर्शाया जाता है घातांक प्रकार्य एक ही स्थान पर सबस्ट्रिंग विविधताओं के गुणांकों से निर्धारित प्रविष्टियों की संख्या।
मूल्य का अनुमान लगाना पहले से ही सामान्य अभ्यास है। टेलर श्रृंखला इस सन्निकटन दृष्टिकोण में अशुद्धि का सटीक आकलन प्रदान कर सकती है।
टेलर द्विघात वह वाक्यांश है जिसका उपयोग टेलर श्रृंखला में मौलिक फीचर तत्वों की सीमित संख्या को इंगित करने के लिए किया जाता है।
कॉलिन मैकलॉरिन वास्तव में मैकलॉरिन अनुक्रम के लिए प्रेरणा हैं। कॉलिन मैकलॉरिन एक स्कॉटिश गणितज्ञ थे जिन्होंने अठारहवीं शताब्दी में बड़े पैमाने पर टेलर श्रृंखला का उपयोग किया था।
मैकलॉरिन अनुक्रम एक का विस्तार है संग्रहीत प्रक्रिया टेलर श्रृंखला लगभग शून्य. लॉरेंट त्रयी और पुइसेक्स फ़्रैंचाइज़ श्रृंखला के दो और सामान्य रूप हैं।
यदि टेलर श्रृंखला शून्य के स्थान पर केंद्रित है, तो यह मैकलॉरिन श्रृंखला का निर्माण करती है।
तुलना तालिका
| तुलना के पैरामीटर | टेलर सीरीज | मैकलॉरिन श्रृंखला |
|---|---|---|
| अर्थ | टेलर अनुक्रम चरों की एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसे एक प्रारूप थ्रेड के रूप में कार्यान्वित किया जाता है। | यदि टेलर अनुक्रम शून्य जंक्शन पर केंद्रित है, तो सेट मैकलॉरिन श्रृंखला बन जाता है। |
| गणना | किसी विशिष्ट गंतव्य पर माप डेरिवेटिव के गुणांक का उपयोग टेलर श्रृंखला की गणना के लिए किया जाता है। | शून्य के आसपास स्थिर मैट्रिक्स टेलर श्रृंखला का विस्तार एक मैकलॉरिन प्रक्रिया है। |
| निकाली गई | टेलर की कहानी ब्रुक टेलर द्वारा शुरू की गई थी। वह 1715 में एक अमेरिकी शोधकर्ता थे। | मैकलॉरिन ट्रिप्टिच कॉलिन मैकलॉरिन से प्रेरित था। वह यूनाइटेड किंगडम के एक गणितज्ञ हैं। |
| का उपयोग करता है | शब्द "टेलर बीजगणितीय" का उपयोग टेलर फ्रैंचाइज़ के प्रारंभिक घटक समीकरणों के सीमित सेट का वर्णन करने के लिए किया जाता है। | अंकगणित और क्वांटम भौतिकी में, मैकलॉरिन अनुक्रम के कई उद्देश्य हैं। |
| कई | टेलर के अनुसार, एक जीवंत श्रृंखला समग्र आधार पर एक मान F पर एकत्रित होती है जिसमें A शामिल होता है। | मैकलॉरिन में एफ को ध्यान में रखते हुए, x=0 पर एक आवधिक चरित्र के लिए टेलर पैटर्न को मैकलॉरिन अनुक्रम कहा जाता है। |
टेलर सीरीज क्या है?
टेलर श्रृंखला का उपयोग परिष्कृत एल्गोरिदम निर्धारित करने के लिए भी किया जा सकता है। टेलर श्रृंखला का उपयोग पूरे डोमेन में सन्निकटन दृष्टिकोण को नियोजित करके टेलर गुणांक के आंशिक योग को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।
भेदभाव और परिपाक संख्यात्मक पद्धति, जो प्रत्येक पद के बीच की जा सकती है, टेलर अनुक्रम का एक और उपयोग है।
एक काल्पनिक अक्ष पर होलोमोर्फिक विशेषता के साथ विश्लेषणात्मक मूल्य को शामिल करके, टेलर श्रृंखला एक बहुपरिवर्तनीय कलन भी प्राप्त कर सकती है।
इसे संक्षिप्त श्रृंखला की संख्यात्मक मात्राएँ प्राप्त करने और उनका मूल्यांकन करने के लिए भी लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए चेबीशेव समीकरण और क्लेन्शॉ रणनीति का उपयोग किया जाता है।
टेलर श्रृंखला का एक अन्य लाभ यह प्रतीत होता है कि इसका उपयोग बीजगणितीय गणनाओं में किया जा सकता है। एक उदाहरण लघुगणक और घातीय अभिव्यक्तियों का विस्तार करने के लिए टेलर श्रृंखला के साथ यूलर के प्रमेय का उपयोग करना है।
इसे हार्मोनिक विश्लेषण पर लागू किया जा सकता है। टेलर श्रृंखला को कभी-कभी भौतिकी में भी लागू किया जा सकता है।
टेलर श्रृंखला एक पूर्व निर्धारित स्थान के बारे में एक कार्यात्मक श्रृंखला विस्तार है। एक आयाम के माध्यम से टेलर अनुक्रम एक शीर्ष f(x) x=a के बारे में एक कार्यात्मक उद्देश्य का विस्तार है।
यदि एक बहुपद f में a पर एक संभावित श्रृंखला होती है जो उस इकाई अक्ष को घेरने वाले एक निश्चित खुले अंतराल पर f तक एकत्रित हो जाती है, तो इसे a पर f के लिए टेलर अनुक्रम कहा जाता है।
मैकलॉरिन सीरीज क्या है?
कॉलिन मैकलॉरिन ने हमें दिखाया कि कैसे एक विशिष्ट बिंदु से शुरू करें और असीमित विविधताओं की गणना करें, यह समझते हुए कि इन कारकों का कुल योग बहुपद का ही प्रतीक है।
हम टेलर श्रृंखला के लिए समग्र सूत्र के साथ शुरुआत करेंगे और नियोजित सटीक संरचना को पहचानने के लिए अपना काम करेंगे। हम नॉनलाइनियर का निर्माण कैसे करें और एक वेरिएबल के समान इसका उपयोग कैसे करें, इसके कई उदाहरण देखेंगे।
फिर हम सबसे पहले मैकलॉरिन श्रृंखला को देखेंगे और साथ ही कुछ बेहद महत्वपूर्ण विस्तार पद्धतियों का पता लगाएंगे जिन्हें हम जानना चाहेंगे ताकि हम खरोंच से अनुमान उत्पन्न करने का प्रयास करने के बजाय उन्हें तेजी से कहां लागू कर सकें।
मैकलॉरिन अनुक्रम निश्चित परिभाषित स्थान 0 के बारे में एक गतिशील अनुक्रम विस्तार है। मैकलॉरिन उत्तराधिकार स्थिति x=0 के बारे में कार्यात्मक उद्देश्य f(x) का एक आयामी विस्तार है।
मैकलॉरिन अनुक्रम के माध्यम से विस्तार योग्य होने के लिए एक चर जैसी किसी चीज़ के लिए एक शर्त सकारात्मक पूर्णांक सीमा में लंबे समय तक और आसानी से मापने योग्य होनी चाहिए।
प्रत्येक बिंदु पर संपूर्ण अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग किया जाना चाहिए। मैकलॉरिन श्रृंखला शून्य पर केन्द्रित है। इस श्रृंखला का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।
टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला के बीच मुख्य अंतर
- टेलर बीजगणितीय वाक्यांश टेलर श्रृंखला में प्रारंभिक घटक चर की सीमित सीमा को इंगित करता है। दूसरी ओर, मैकलॉरिन श्रृंखला के गणित और विज्ञान में कई अनुप्रयोग हैं।
- टेलर श्रृंखला की गणना केंद्रीय गंतव्य पर पैरामीटर डेरिवेटिव के गुणांक का उपयोग करके की जाती है। दूसरी ओर, मैकलॉरिन श्रृंखला शून्य के आसपास एक गतिशील सरणी टेलर श्रृंखला का विस्तार है।
- टेलर अनुक्रम चर के एक घातीय फ़ंक्शन के रूप में एक प्रारूप स्ट्रिंग कार्यान्वयन है। जबकि यदि टेलर श्रृंखला शून्य के मोड़ पर केंद्रित है, तो यह मैकलॉरिन श्रृंखला बन जाएगी।
- जैसा कि टेलर द्वारा परिभाषित किया गया है, एक गतिशील श्रृंखला एक खुली सीमा पर एफ मान तक जमा हो जाती है, जिसमें ए भी शामिल है। दूसरी ओर, x=0 पर एक आवधिक प्रतीक के लिए टेलर प्रवृत्ति को मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है क्योंकि मैकलॉरिन में एफ।
- ब्रुक टेलर ने टेलर गाथा को प्रेरित किया। 1715 में, ब्रुक टेलर वास्तव में एक अमेरिकी सांख्यिकीविद् थे। जबकि कॉलिन मैकलॉरिन मैकलॉरिन त्रयी की प्रेरणा हैं। कॉलिन मैकलॉरिन एक ब्रिटिश गणितज्ञ थे जिन्होंने 17वीं और 18वीं शताब्दी में टेलर सेट का बड़े पैमाने पर उपयोग किया था।
- https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X21500043
- https://sam.nitk.ac.in/courses/MA111/Taylor%20and%20Maclaurin%20Series.pdf
अंतिम अद्यतन: 13 जुलाई, 2023
मैंने आपको मूल्य प्रदान करने के लिए इस ब्लॉग पोस्ट को लिखने में बहुत मेहनत की है। यदि आप इसे सोशल मीडिया पर या अपने मित्रों/परिवार के साथ साझा करने पर विचार करते हैं, तो यह मेरे लिए बहुत उपयोगी होगा। साझा करना है ♥️
एम्मा स्मिथ के पास इरविन वैली कॉलेज से अंग्रेजी में एमए की डिग्री है। वह 2002 से एक पत्रकार हैं और अंग्रेजी भाषा, खेल और कानून पर लेख लिखती हैं। मेरे बारे में उसके बारे में और पढ़ें जैव पृष्ठ.
यह आलेख अत्यधिक विस्तृत है और अधिक संक्षिप्त हो सकता था। इन अवधारणाओं से अपरिचित किसी व्यक्ति के लिए इसे पढ़ना आसान नहीं है।
मेरा मानना है कि विषय को पूरी तरह से समझने के लिए लेख में विस्तार का स्तर आवश्यक है। आख़िरकार यह एक जटिल विषय है।
मैं लिसा73 से सहमत हूं। शुरुआती लोगों के लिए लेख का अधिक सरलीकृत संस्करण रखना फायदेमंद हो सकता है।
यह लेख टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला की व्यापक और स्पष्ट व्याख्या प्रदान करता है, जो गणित में एक मौलिक अवधारणा हो सकती है। गणितीय अवधारणाओं के बारे में ऐसे अच्छे ढंग से लिखे गए लेख पढ़ना ताज़ा है।
लेख उपयोगी एवं जानकारीपूर्ण है. यह टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला के बीच अंतर को स्पष्ट करने में मदद करता है, जिसे समझने में कई छात्रों को संघर्ष करना पड़ता है।
क्षमा करें मैं असहमत हूं। यह लेख कई छात्रों के लिए बहुत जटिल है और यह उन लोगों द्वारा आसानी से नहीं समझा जा सकता है जो पहले से ही गणितीय श्रृंखला से परिचित नहीं हैं।
मैं Aiden47 से सहमत हूं। लेख अत्यधिक जानकारीपूर्ण है और दो श्रृंखलाओं की व्याख्या करने में काफी मदद करता है।
लेख बहुत जानकारीपूर्ण है, लेकिन लेखन का लहजा कुछ पाठकों को सुखद लग सकता है।
लेख टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला के बीच एक मूल्यवान तुलना प्रदान करता है, जो गणित में उनके अनुप्रयोगों और महत्व के बारे में गहरी जानकारी प्रदान करता है।
टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला छात्रों के लिए एक डरावना विषय हो सकता है, लेकिन यह लेख इसे सुलभ और समझने में आसान बनाने का उत्कृष्ट काम करता है।