Površina u odnosu na volumen: razlika i usporedba

Matematičke metode imaju širok opseg u gotovo svim područjima, bilo da se radi o ekonomiji, fizici, geografiji ili bilo kojem drugom. Detaljno poznavanje i ispravna upotreba površine i volumena bitni su za izvrsnost i postizanje savršenstva.

Oba koncepta postaju značajna tijekom rješavanja stvarnih problema mjerenja i proučavaju se u okviru jedinice Mjerenje. Metode integracije nalaze primjenu u izračunavanju površine i volumena nepravilnih i složenih površina.

Ključni za poneti

1. Površina mjeri ukupnu vanjsku površinu objekta, dok volumen mjeri količinu prostora koji objekt zauzima.
2. Površina se izražava u kvadratnim jedinicama, dok se volumen izražava u kubičnim jedinicama.
3. Površina utječe na izloženost objekta okolišu, dok volumen određuje njegov kapacitet ili veličinu.

Površina u odnosu na volumen

Razlika između površine i volumena je u tome što površina mjeri površinu koju zauzima najviši sloj površine. Drugačije rečeno; to je površina svih oblika/ravnina koje čine figure/čvrsta tijela. Nasuprot tome, volumen mjeri kapacitet nosivosti figure/oblika ili prostora unutar formacije.

---

 

Tabela za usporedbu

Parametar usporedbe	Površina	Volumen
Definicija	To je područje svih oblika/ravnina koje čine najviši sloj figure/krutine.	To je prostor sadržan u 3-D tijelu/figuri ili količina zraka unutar njega.
Dimenzija	To je dvodimenzionalni koncept. Odgovor je uvijek u jediničnom kvadratu kao što je m² ili cm².	To je trodimenzionalni koncept. Odgovor je uvijek u jediničnoj kocki kao što je m³ ili cm³.
Je li izračunato za?	Površina se može izračunati za bilo koju figuru u ravnini ili prostoru.	Volumen se izračunava samo za čvrste tvari jer imaju tri dimenzije.
Primjeri iz stvarnog života	Pronalazimo površinu kako bismo procijenili veličinu zidova koje treba obojiti kako bismo izračunali troškove.	Pronalazimo Volumen kako bismo procijenili koliko se robe može držati u trgovini.
Metode za izračunavanje	Integracijom pomoću koncepta luka ili revolucije luka za složene figure/čvrsta tijela.	Integriraju se metodama diska, podloška ili cilindričnih školjki. Neke formule su iznimni slučajevi, kao u: Za kocku = S*S*S.
	Neke formule su unaprijed određene kao u: Za kvadrat= S*S i sferu=4πr².

---

 

Što je površina?

Površina je ukupna površina koju pokriva površina. Ako pretvorimo naš lik u 2-D ravninu i zatim izračunamo cijelu površinu, dobit ćemo površinu.

Može se izračunati za bilo koju figuru; za jednodimenzionalni linijski segment, površina je nula.

Uvijek ćemo imati pozitivne vrijednosti jer je to područje skalar samo s veličinom. Bez obzira na dimenziju površine, površina ima dvije dimenzije, pa bi stoga imala jedinice poput m² ili cm² ili mm².

To je široko korišten koncept od strane arhitekata i vrlo je važan i koristan čak i običnom čovjeku. Na primjer, za procjenu vremena, brzine ili cijene bojanja zidova, postavljanja ograda ili razgraničenja izbornih jedinica itd.

Neke formule:

1. Kvadrat: S*S
2. Pravokutnik: L*B
3. Sfera. : 4πr²
4. Konus. : πr(l+r)

Formulirano je nekoliko metoda za pronalaženje površine složenih figura: Metoda za pronalaženje površine je vizualizacija čvrstog ili 3-D objekta kao revolucije ravninske krivulje. Na primjer, možemo generirati sferu okretanjem polukruga.

U ovom slučaju, površina je ukupna površina svih zakrivljenih površina sićušnih cilindričnih komada koji se mogu rezati. Ovdje dolazi do izražaja integracija; površina je jednaka integraciji 2πf(x)√(1+(f'(x))²) u odnosu na x od x=a do x=b.

 

Što je Volumen?

Volumen je nosivost ili količina zraka sadržana unutar čvrstog tijela/figure. Može se izračunati za figure koje imaju više od 2 dimenzije.

Imat ćemo pozitivan volumen vrijednosti jer je to skalar sa samo veličinom. Volumen je trodimenzionalan i stoga bi imao jedinice poput m³ ili mm³ ili cm³.

Naširoko se koristi u poduzećima za procjenu skladišnog kapaciteta iu znanstvenoj opremi kao što su čaše, štrcaljke itd. Na primjer, za skladištenje vreća za žitarice ili za mjerenje lijekova.

Neke formule:

1. Kocka: S*S*S
2. Kvadrat: L*B*V
3. Sfera. : ( 4/3) πr³
4. Konus. : (1/3)πr²h

Metode za izračunavanje volumena složenih i nepravilnih figura:

1. Volumen po rezanju: Ako je površina poprečnog presjeka čvrstog tijela poznata, možemo pronaći volumen integracijom površine kao funkcije varijable za domenu varijable.
2. Volumen po diskovima: Vizualizacijom čvrstih tijela kao revolucije ravnog lika. Tada možemo procijeniti površinu poprečnog presjeka malih i malih komada krutine. Volumen bi bio integracija π(f(x))² u odnosu na x za domenu od x.
3. Volumen po podloškama: U ovom slučaju, naše tijelo rotacije formira područje između dvije ravnine/krivulje. Površina poprečnog presjeka bila bi u obliku podloška, ​​a Volumen bi bio integracija π[(f(x))²- (g(x))²] u odnosu na x za domenu x.
4. Volumen po cilindričnim ljuskama: Gornje probleme također možemo riješiti bez izračunavanja površine poprečnog presjeka vizualizacijom našeg krutog tijela kao tijela zaokruženih krhkih cilindara. Volumen je integracija 2πxf(x) u odnosu na x za raspon od x.

---

Glavne razlike između površine i volumena

1. Površina površine je ukupna površina ravnina koje tvore plohu/oblik, dok je volumen prostor zatvoren unutar figure/oblika/površine.
2. Površina je dvodimenzionalni koncept s jedinicama m², cm² ili mm², dok je volumen trodimenzionalni koncept s m³, cm³ ili mm³ kao jedinicama.
3. Površina se može pronaći za 2-D figure poput krugova, kvadrata i pravokutnika, ali volumen se ne može pronaći za njih. U isto vrijeme, oba se mogu pronaći za 3-D tijela/figure poput kocke, sfere, cilindra ili stošca.
4. Površina se nalazi za procjenu površine zidova koje treba obojiti, dok se volumen nalazi za procjenu skladišnog kapaciteta unutar zidova.
5. Površina se izračunava integracijom luka ili revolucije luka (ovisno o slici), dok se volumen izračunava integracijom revolucije površine. Ove metode se koriste pri razmatranju vrlo složenih funkcija i dio su studija više razine.

---

Reference

1. https://sora.unm.edu/sites/default/files/journals/condor/v076n03/p0319-p0325.pdf
2. https://pubs.acs.org/doi/full/10.1021/jp060433+

Zadnje ažuriranje: 11. lipnja 2023