公理と定理: 違いと比較

公理は、数学的ステートメントまたは論理的説明の基礎として、また定理の出発点として機能します。

公理と他の論理接続詞のコレクションは、定理を導出するためによく使用されます。

主要な取り組み

1. 公理は、証明や正当化を必要としない自明の真実または基本原則です。
2. 定理とは、その真偽を立証するために論理的な証明を必要とする命題です。
3. 定理は、公理と以前に証明された定理に基づいて構築され、数学的概念の理解を広げます。

公理と定理

公理は、証明なしで受け入れられる基本的な仮定であり、定理は、公理および以前に証明された定理から論理的に演繹できるステートメントです。 定理は数学的概念の新しい洞察と理解を提供しますが、公理は 基礎 数学的推論のため。

公理は広く認識され、受け入れられている真実です。 しかし、彼らはその主張を裏付ける特定の証拠や実際的な方法を持っていません.

公理の大部分は、知的な心を持つ人々からのいくつかの課題に直面しています。 彼らが天才なのか狂人なのかは時が経てば明らかになるだろう。

非論理公理と論理公理は、その受け入れ状況に基づいて XNUMX つのカテゴリに分類されます。

定理は、公理や広く受け入れられている命題など、他のステートメントを使用して実証されます。

公理とは対照的に、定理はさまざまな導出方法と解釈を受けるため、困難に直面する可能性が高くなります。

結論と仮説は、定理を分類するために使用されます。定理が真か偽かは問題ではありません。それは証明される必要がある。

比較表

比較のパラメータ	公理	定理
真実	常に真と見なされます。	本当かもしれないし、そうじゃないかもしれない。
受け入れ	広く受け入れられている	それらが真実であることが証明された場合にのみ受け入れることができます。
直面する課題	比較的少ない	比較的高い
Foundation	公理に導かれる	定理は公理から導かれる
証明	証拠を必要としない	証明が必要

公理とは何ですか？

公理は普遍的に想定され、真実として受け入れられています。 公理は、数学的ステートメントまたは論理的説明の基礎石として、また定理の開始点として機能します。

公理の大部分は、知的な心を持つさまざまな個人によって異議を唱えられています。 しかし、やがて彼らが天才か狂人かが明らかになる。

公理は、その受け入れステータスに基づいて、非論理的または論理的として分類されます。

公理とは、実証も証明もできない正しいステートメント、特に論理に基づいたステートメントです。 一方、これらは自明であると見なされることがよくあります。

公理は広く認められ、受け入れられている真実です。 しかし、彼らはその主張を裏付ける特定の証拠や実際的な方法を持っていません。

一方、非論理公理は、数学的理論の構築に利用される論理的な定式化です。 ありません 要件 公理の場合のあらゆる種類の証拠。

承認された有効なアサーションは、論理公理と呼ばれます。

定理とは

定理は常に正しいと推定できるわけではありません。 彼らは欺瞞的でさえあります。

定理は、多くの場合、公理および既存の追加の論理接続詞のセットから導出されます。 定理が真か偽かで違いはありません。 それには証拠が必要です。

ほとんどの場合、定理はさまざまな導出方法と解釈を受けるため、公理よりも困難に直面します。

結論と仮説など、定理の XNUMX つの構成要素は、定理を分類するためによく使用されます。

定理とは、定義上、以前の定理、公理、およびその他の論理結合子のセットを使用して証明されるステートメントです。

定理は、論理的な議論と厳密な数学を使用して確立されます。

定理は、公理や普遍的に受け入れられている命題などの追加の主張の助けを借りて証明されることがよくあります。

公理と定理の主な違い

1. 公理は、特に論理ベースの、実証または証明できない真のステートメントであると考えられます。 ただし、これらは自明のこととして考慮されます。
2. 一方、定義上、定理は、他の定理、公理、および他の一連の論理結合子の助けを借りて証明されるステートメントであると考えられます。
3. 公理は広く受け入れられており、真実であると見なされています。 しかし、彼らはその声明を証明するための特定の証拠や実用的な方法を持っていません.
4. 一方、論理的推論と厳密な数学の助けを借りて、定理は証明されます。 定理が証明されるステートメントは、公理や広く受け入れられているもののような他のステートメントの助けを借りて証明されます。
5. 公理の大部分は、知的心を持っているさまざまな個人による多くの課題に直面しています。 しかし、時間が経つにつれて、彼らが天才またはクラックポットであることがわかります。
6. 一方、ほとんどの場合、定理はさまざまな導出方法と解釈を受けるため、公理と比較してより多くの課題に直面する傾向があります。
7. 公理は、その受け入れ状況に基づいて、非論理的および論理的として分類されます。 論理公理は広く受け入れられている有効なステートメントを指しますが、非論理公理は数学理論の構築に使用される論理式を指します。
8. 一方、定理は、結論と仮説のように、定理が持つ XNUMX つの要素に基づいて分類されます。
9. 公理の場合、いかなる種類の証明も必要ありません。 一方、定理の場合、真か偽かは問題ではありませんが、証明が必要です。
10. 一般に、公理は仮定され、真であると見なされます。 一方、定理は常に真であるとは限りません。 偽の場合もあります。
11. 数学的ステートメントまたは論理的説明の基礎石は、 LED 公理は定理の開始点としても機能するためです。 一方、定理は公理と他の既存の論理結合子のセットから導出されます。

参考文献

1. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0049237X0871111X
2. https://arxiv.org/abs/2108.13336

最終更新日 : 11 年 2023 月 XNUMX 日