Aksiomas kalpo kā matemātisko apgalvojumu vai loģisko skaidrojumu stūrakmens, kā arī teorēmu sākumpunkts.
Teorēmu atvasināšanai bieži tiek izmantotas aksiomas un citu loģisko savienojumu kopums.
Atslēgas
- Aksiomas ir pašsaprotamas patiesības vai pamatprincipi, kuriem nav nepieciešami pierādījumi vai pamatojums.
- Teorēmas ir priekšlikumi, kuru patiesuma noteikšanai ir nepieciešami loģiski pierādījumi.
- Teorēmas balstās uz aksiomām un iepriekš pārbaudītām teorēmām, lai paplašinātu mūsu izpratni par matemātikas jēdzieniem.
Aksioma pret teorēmu
Aksiomas ir pamatpieņēmumi, kas tiek pieņemti bez pierādījumiem, savukārt teorēmas ir apgalvojumi, kurus var loģiski secināt no aksiomām un iepriekš pierādītām teorēmām. Teorēmas sniedz jaunu ieskatu un izpratni par matemātikas jēdzieniem, savukārt aksiomas sniedz a fonds matemātiskai spriešanai.
Aksiomas ir plaši atzītas un pieņemtas patiesības. Tomēr viņiem nav nekādu īpašu pierādījumu vai praktisku veidu, kā pamatot šo apgalvojumu.
Lielākā daļa aksiomu saskaras ar vairākiem izaicinājumiem no cilvēkiem ar intelektuālu prātu. Ar laiku kļūs skaidrs, vai tie ir ģēniji vai traki.
Neloģiskās un loģiskās aksiomas ir sadalītas divās kategorijās, pamatojoties uz to pieņemšanas statusu.
Teorēmas tiek demonstrētas, izmantojot citus apgalvojumus, piemēram, aksiomas vai vispārpieņemtus priekšlikumus.
Teorēmas, atšķirībā no aksiomām, biežāk saskaras ar grūtībām, jo tās tiek pakļautas dažādām atvasināšanas metodēm un interpretācijām.
Secinājums un hipotēze tiek izmantoti, lai klasificētu teorēmas. Nav nozīmes tam, vai teorēma ir patiesa vai nepatiesa; tas ir jāpierāda.
Salīdzināšanas tabula
| Salīdzināšanas parametri | aksioma | Teorēma |
|---|---|---|
| Patiesība | Uzskata par patiesu, vienmēr. | Tā var būt taisnība, var nebūt taisnība. |
| Pieņemšana | Vispārpieņemts | Var pieņemt tikai tad, ja ir pierādīts, ka tie ir patiesi. |
| Izaicinājumi, ar kuriem jāsaskaras | Salīdzinoši mazāk | Salīdzinoši augsts |
| Fonds | Aksiomu vadībā | Teorēmas ir atvasinātas no aksiomām |
| Pierādījums | Neprasa pierādījumus | Nepieciešams pierādījums |
Kas ir Aksioma?
Aksiomas ir vispārēji pieņemtas un pieņemtas kā patiesas. Aksiomas kalpo kā matemātisku apgalvojumu vai loģisku skaidrojumu pamatakmens, kā arī teorēmu sākumpunkts.
Lielāko daļu aksiomu izaicina dažādi indivīdi ar intelektuālu prātu. Tomēr ar laiku kļūs skaidrs, vai tie ir ģēniji vai traki.
Aksiomas tiek klasificētas kā neloģiskas vai loģiskas, pamatojoties uz to pieņemšanas statusu.
Aksioma ir pareizs apgalvojums, īpaši tāds, kas balstās uz loģiku, ko nevar pierādīt vai pierādīt. No otras puses, tie bieži tiek uzskatīti par pašsaprotamiem.
Aksiomas ir plaši atzītas un pieņemtas patiesības. Tomēr viņiem nav nekādu īpašu pierādījumu vai praktisku veidu, lai pamatotu šo apgalvojumu.
No otras puses, neloģiskās aksiomas ir loģiski formulējumi, kas tiek izmantoti matemātisko teoriju veidošanā. Tur nav prasība jebkura veida pierādījumiem aksiomas gadījumā.
Derīgi apgalvojumi, kas tiek atzīti, tiek saukti par loģiskām aksiomām.
Kas ir teorēma?
Ne vienmēr var pieņemt, ka teorēmas ir pareizas. Tie var būt pat maldinoši.
Teorēmas bieži tiek iegūtas no aksiomām un papildu loģisko savienojumu kopas, kas jau pastāv. Nav nozīmes tam, vai teorēma ir patiesa vai nepatiesa; tas prasa pierādījumus.
Vairumā gadījumu teorēmas saskaras ar vairāk grūtībām nekā aksiomas, jo tās tiek pakļautas dažādām atvasināšanas metodēm un interpretācijām.
Divas teorēmas sastāvdaļas, piemēram, secinājums un hipotēze, bieži tiek izmantotas, lai tās iedalītu kategorijās.
Teorēma pēc definīcijas ir apgalvojums, kas tiek pierādīts, izmantojot iepriekšējās teorēmas, aksiomas un citu loģisko savienojumu kopu.
Teorēmas tiek noteiktas, izmantojot loģiskus argumentus un stingru matemātiku.
Teorēmas bieži tiek pierādītas, izmantojot papildu apgalvojumus, piemēram, aksiomas vai vispārpieņemtus apgalvojumus.
Galvenās atšķirības starp aksiomu un teorēmu
- Aksioma tiek uzskatīta par patiesu apgalvojumu, īpaši uz loģiku balstītu, ko nevar pierādīt vai pierādīt. Tomēr tie tiek ņemti vērā kā pašsaprotami.
- No otras puses, pēc definīcijas teorēmu uzskata par apgalvojumu, kas tiek pierādīts ar citu teorēmu, aksiomu un citu loģisko savienojumu kopas palīdzību.
- Aksiomas ir vispārpieņemtas un tiek uzskatītas par patiesām. Tomēr viņiem nav nekādu īpašu pierādījumu vai praktisku veidu, kā pierādīt šo apgalvojumu.
- No otras puses, ar loģiskās spriešanas un stingras matemātikas palīdzību tiek pierādītas teorēmas. Apgalvojumi, ar kuriem tiek pierādītas teorēmas, tiek pierādīti ar citiem apgalvojumiem, piemēram, aksiomām vai vispārpieņemtiem apgalvojumiem.
- Lielākā daļa aksiomu saskaras ar daudzām problēmām, ko rada dažādi indivīdi, kuriem ir intelektuāls prāts. Tomēr ar laiku var zināt, ka tie ir ģēniji vai plēsēji.
- No otras puses, lielāko daļu laika teorēmas ir pakļautas lielākam izaicinājumam salīdzinājumā ar aksiomām, jo tās tiek pakļautas dažādām atvasināšanas metodēm un interpretācijām.
- Aksiomas tiek iedalītas kategorijās, pamatojoties uz to pieņemšanas statusu, kā neloģiskas un loģiskas. Loģiskās aksiomas attiecas uz derīgiem apgalvojumiem, kas ir vispārpieņemti, turpretim neloģiskās aksiomas attiecas uz tām loģiskajām izteiksmēm, kuras tiek izmantotas matemātisko teoriju veidošanā.
- No otras puses, teorēmas tiek iedalītas kategorijās, pamatojoties uz diviem tiem piederošajiem komponentiem, piemēram, secinājumu un hipotēzi.
- Aksiomas gadījumā nav nepieciešams nekāda veida pierādījums. No otras puses, teorēmas gadījumā nav svarīgi, vai tā ir patiesa vai nepatiesa, bet tai ir nepieciešams pierādījums.
- Kopumā aksiomas tiek pieņemtas un uzskatītas par patiesām. No otras puses, nevar pieņemt, ka teorēmas vienmēr ir patiesas. Tie var būt pat nepatiesi.
- Matemātisko apgalvojumu vai loģisku skaidrojumu pamatakmens ir Led ar aksiomām, jo tās kalpo arī kā teorēmu sākumpunkts. No otras puses, teorēmas tiek iegūtas no aksiomām un citu esošo loģisko savienojumu kopas.
- https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0049237X0871111X
- https://arxiv.org/abs/2108.13336
Pēdējo reizi atjaunināts: 11. gada 2023. jūnijā
Esmu pielicis tik daudz pūļu, rakstot šo emuāra ierakstu, lai sniegtu jums vērtību. Tas man ļoti noderēs, ja apsverat iespēju to kopīgot sociālajos medijos vai ar draugiem/ģimeni. DALĪŠANĀS IR ♥️
Pijušs Jadavs pēdējos 25 gadus ir pavadījis, strādājot par fiziķi vietējā sabiedrībā. Viņš ir fiziķis, kurš aizrautīgi cenšas padarīt zinātni pieejamāku mūsu lasītājiem. Viņam ir bakalaura grāds dabaszinātnēs un pēcdiploma diploms vides zinātnē. Vairāk par viņu varat lasīt viņa vietnē bio lapa.
Es atklāju, ka šajā rakstā sniegtais salīdzinājums ir izcils. Apgalvojums, ka teorēmām ir nepieciešami pierādījumi, bet aksiomām to nav, ir galvenais. Lai atbalstītu diskusiju, būtu lietderīgi padziļināti iedziļināties vēsturiskajos piemēros par izaicinošām aksiomām.
Rakstā tika sniegts visaptverošs aksiomu un teorēmu pārskats, skaidri nošķirot abus jēdzienus. Citētās atsauces arī piešķir ticamību iesniegtajam saturam.
Es atklāju, ka šis raksts ir ļoti izglītojošs un informatīvs. Es augstu vērtēju salīdzināšanas tabulu un skaidras definīcijas, kas sniegtas gan aksiomām, gan teorēmām. Tas patiešām palīdzēja nostiprināt manu izpratni par katru.
Es nepiekrītu raksta apgalvojumam, ka aksiomas ir vispārpieņemtas. Ir daudz izaicinošu aksiomu, par kurām intelektuāļi joprojām apspriež. Atšķirība starp loģiskām un neloģiskām aksiomām ir izšķiroša šajā diskursā.
Šajā rakstā ir izskaidrotas galvenās atšķirības starp aksiomām un teorēmām. Mani īpaši ieinteresēja neloģisko aksiomu jēdziens un to nozīme matemātikas teorijās.
Salīdzināšanas tabula palīdzēja noteikt atšķirības starp aksiomām un teorēmām. Tas kalpoja kā vērtīgs vizuāls palīglīdzeklis, lai izprastu šo jēdzienu atšķirīgos atribūtus.