Parabola vs hiperbola: atšķirība un salīdzinājums

Konusveida griezums ir līkne, kas iegūta, plaknei krustojot konusu noteiktā leņķī. Ir trīs konusveida sekcijas - elipse, parabola un hiperbola.

Elipse ir plakana līkne ar diviem fokusa punktiem, kas atgādina apli. Tomēr parabola un hiperbola ir mulsinošas sadaļas.

Atslēgas

1. Parabolas ir U formas līknes, kas attēlo kvadrātiskās funkcijas, ar vienu simetrijas asi un vienu virsotni.
2. Hiperbolas sastāv no divām atšķirīgām līknēm, kas attēlo punktus ar nemainīgu atšķirību starp attālumiem starp diviem fokusiem.
3. Gan parabolas, gan hiperbolas ir konusveida sekcijas, taču tām ir atšķirīgas formas un matemātiskas īpašības, kur parabolām ir viens zars, bet hiperbolām - divi zari.

Parabola pret hiperbolu

Parabola ir U veida līkne, kas ir simetriska ap savu asi. Turpretim hiperbola ir līknes veids, kam ir divi zari, kas atveras uz augšu vai uz leju un ir simetriski ap to centra punktu. Matemātikā tos attēlo dažādi vienādojumus un tiem ir dažādas īpašības.

Parabola ir viena atvērta līkne, kas stiepjas līdz bezgalībai. Tam ir U-veida forma, un tam ir viens fokuss un viens virziens.

Hiperbola ir atvērta līkne ar diviem nesaistītiem zariem. Tam ir divi foci un divi virzieni, pa vienam katram vienība.

---

 

Salīdzināšanas tabula

Salīdzināšanas parametrs	Parabola	Hiperbola
Definīcija	Parabola ir punktu lokuss ar vienādu attālumu no fokusa un virziena.	Hiperbola ir punktu lokuss ar nemainīgu atšķirību starp diviem fokusiem.
Shape	Parabola ir atvērta līkne, kurai ir viens fokuss un viens virziens.	Hiperbola ir atvērta līkne ar diviem zariem, diviem fokusiem un diviem virzieniem.
Ekscentriskums	Parabolas nenegatīvā ekscentricitāte ir viena.	Hiperbolas nenegatīvā ekscentricitāte e ir nozīmīgāka par vienu.
Plaknes krustojums	Plaknes krustpunkts ir paralēls (ideālā gadījumā) konusa slīpuma augstumam.	Plaknes krustpunkts ir paralēls (ideālā gadījumā) dubultkonusa perpendikulārajam augstumam.
Vispārējais vienādojums	Parabolas vispārīgais vienādojums ir y = ax², a ≠ 0	Hiperbolas vispārējais vienādojums ir x²/a² – y²/b² = 1

---

 

Kas ir parabola?

Parabola ir visu to punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no punkta un taisnes. Šo punktu sauc par fokusu, un šo līniju sauc par virzienu.

Parabola veidojas, kad plakne šķērso konusu paralēlā virzienā (ideālā gadījumā) pret tā slīpumu augstums.

Parabolas vispārīgais vienādojums ir dots kā

y = ax², a ≠ 0

A vērtība nosaka līknes formu.

Ja a > 0, parabolas mute atveras uz augšu.

Ja < 0, parabolas mute atveras uz leju.

Iepriekš minētās parabolas fokuss ir (0, 1/4a). Virziens ir (-1/4a).

Tomēr, ja a = 1, parabolu sauc par vienības parabolu.

Parabolas ekscentriskums ir viens.

Parabola ir simetriska ap savu asi. Bezgalīgā attālumā līknes parādās kā paralēlas līnijas.

 

Kas ir hiperbola?

Hiperbola ir visu punktu atrašanās vieta ar nemainīgu starpību starp diviem atšķirīgiem punktiem. Šos punktus sauc par hiperbolas perēkļiem.

Hiperbola veidojas, kad cieta plakne šķērso konusu virzienā, kas ir paralēls tā perpendikulārajam augstumam.

Hiperbolas vispārīgais vienādojums ir dots kā

(x-α) ²/a² – (y-β)²/b² = 1

Iepriekš minētās hiperbolas perēkļi ir ( α ± sqrt( a²+b²), β).

Virsotnes ir (±a, β).

Hiperbolas ekscentriskums ir nozīmīgāks par vienu.

Hiperbolai ir divas simetrijas asis. Tās ir šķērsass un konjugāta ass.

---

Galvenās atšķirības starp parabolu un hiperbolu

Parabola un hiperbola ir koniskas daļas. Viņiem ir dažādas formas un īpašības.

Galvenās atšķirības starp abiem ir:

1. Parabola ir visu punktu lokuss ar vienādu attālumu no fokusa un virziena. No otras puses, hiperbola ir visu to jautājumu lokuss, kuriem attāluma atšķirība starp diviem fokusiem ir nemainīga.
2. Parabola ir atvērta līkne ar vienu fokusu un virzienu, savukārt hiperbola ir atvērta līkne ar diviem zariem ar diviem fokusiem un virzieniem.
3. Parabolas ekscentriskums ir viens, savukārt hiperbolas ekscentriskums ir nozīmīgāks par vienu.
4. Parabola veidojas, plaknei krustojot konusu tā slīpajā augstumā. No otras puses, hiperbola veidojas, plaknei krustojot konusu gar tā perpendikulāro augstumu.
5. Parabolas vienādojums ir y = ax². No otras puses, hiperbolas vienādojums ir x²/a² – y²/b² = 1.

---

Atsauces

1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ao-54-24-7148
2. https://asmedigitalcollection.asme.org/appliedmechanics/article-abstract/68/4/537/449711

Pēdējo reizi atjaunināts: 11. gada 2023. jūnijā