Калкулатор производа са тачкама

инструкције:

• Унесите векторе А и Б и изаберите операцију.
• Кликните на „Израчунај“ да бисте извршили прорачун.
• У наставку погледајте резултат, детаље прорачуна и историју.
• Кликните на „Обриши“ да бисте ресетовали уносе и резултате.
• Кликните на „Копирај“ да бисте копирали резултат у међуспремник.

Вектор А:

Вектор Б:

Изаберите операцију: Дот Продуцт Цросс Продуцт

Израчунати јасно Копирање

Резултат:

Детаљи калкулације:

Историја израчунавања:

Калкулатор тачкастих производа је алатка која израчунава тачкасти производ два вектора. То је основни начин комбиновања два вектора и широко се користи у математици, физици и инжењерству.

концепти

Тачкасти производ је алгебарска операција која узима два низа бројева једнаке дужине, координатне векторе и враћа један број. Такође је познат као скаларни производ. Тачкасти производ мери релативни правац два вектора. То нам говори нешто о томе колико два вектора показују у истом правцу.

Формуле

Тачкасти производ пишемо са малом тачком ⋅ између два вектора (изговара се „тачка б“):

а → ⋅ б → = ‖ а → ‖ ‖ б → ‖ цос ( θ)

Ако разбијемо овај фактор по фактор, прва два су ‖ а → ‖ и ‖ б → ‖. Ово су величине а → и б →, тако да тачкасти производ узима у обзир колико су дуги вектори. Коначни фактор је цос ( θ), где је θ угао између а → и б →. Ово нам говори да тачкасти производ има везе са правцем. Конкретно, када је θ = 0, два вектора показују потпуно исти смер. Не узимајући у обзир векторске величине, ово је када је тачкасти производ највећи, јер је цос ( 0) = 1. Генерално, што више два вектора показују у истом правцу, то ће бити већи производ тачака између њих.

Други начин размишљања о θ је да замислимо да један вектор баца сенку на други. Када је угао мали, сенка пада далеко од почетка, а тачкасти производ је велики. Када је θ близу π/2, сенка пада близу почетка, а тачкасти производ је мали.

Када треба да пронађемо тачкасти производ у мултиваријабилном рачуну, имамо само координате а → и б →. Израчунавање ‖ а → ‖ ‖ б → ‖ цос (θ) би нас натерало да пронађемо два квадратна корена и косинус, што је много посла! Срећом, постоји лакши начин. Само помножите одговарајуће компоненте, а затим додајте:

а → = ( ​​а 1, а 2, а 3) б → = ( ​​б 1, б 2, б 3) а → ⋅ б → = а 1 б 1 + а 2 б 2 + а 3 б 3

Ова формула се проширује за векторе било које дужине.

Предности

Тачкасти производ има многе предности. Користи се у физици за израчунавање рада силе, у компјутерској графици за израчунавање осветљења и сенчења и у машинском учењу за израчунавање сличности између вектора. Такође се користи у инжењерству за израчунавање обртног момента на осовини и у навигацији за израчунавање растојања између две тачке.

Занимљивости

• Тачкасти производ је комутативан, што значи да је а → ⋅ б → = б → ⋅ а →.
• Тачкасти производ је дистрибутиван, што значи да је а → ⋅ ( б → + ц → ) = а → ⋅ б → + а → ⋅ ц →.
• Тачкасти производ није асоцијативан, што значи да је а → ⋅ ( б → ⋅ ц → ) = ( а → ⋅ б → ) ⋅ ц →.

Последње ажурирање: 11. децембра 2023