Інтеграція проти часткової інтеграції: різниця та порівняння

Розв’язування інтегральних функцій за допомогою методів формул або часткових методів називається інтегруванням. Крім того, диференціювання та інтегрування є двома найважливішими операціями числення.

Він діє як інструмент для розшифровки задач з математики та фізики; площа змінної форми, відстань кривої та об’єм твердого тіла.

Ключові винесення

1. Інтеграція обчислює площу під кривою або першопохідну функції, надаючи спосіб знайти накопичене значення змінної за певний інтервал, тоді як часткова інтеграція, також відома як інтеграція за частинами, є технікою, яка використовується для інтегрування добутків двох функції.
2. Інтеграція є фундаментальною концепцією в обчисленні, застосовною до широкого кола проблем у математиці, фізиці та інженерії. На відміну від цього, часткова інтеграція є спеціальним методом інтеграції, який використовується, коли стандартні методи інтеграції не застосовуються.
3. Інтеграція ґрунтується на різних правилах, таких як потужність, ланцюжок і методи заміщення. На відміну від цього, часткове інтегрування базується на правилі добутку для диференціювання, що дозволяє використовувати систематичний підхід до вирішення більш складних інтегралів.

Інтеграція проти часткової інтеграції

Різниця між інтегруванням і частковим інтегруванням полягає в тому, що інтегрування є простою першопохідною функції, визначеною за допомогою формул. З іншого боку, часткове інтегрування — це метод, який використовується для часткової розбивки, а потім інтегрування функції раціонального дробу зі складними членами в знаменнику згідно з правилом LIATE.

Інтегрування є найпростішою формою антипохідної функції. Іншими словами, це математичний метод об'єднання кожної частини в ціле.

Він обчислює площу обмежених областей або під кривими графіків. Він містить понад двадцять формул інтегрування для різних функцій, таких як тригонометрія, алгебра, обернена та експоненціальна.

Часткову інтеграцію також називають інтеграцією частинами. Це один із методів інтегрування, розроблений математиком Бруком Тейлором у 1715 році.

Таким чином, формула часткового інтегрування обчислює інтеграли легше, спрощуючи інтеграцію функцій у добутку. Крім того, він добре працює з інтегральними виразами, які не мають прямого інтегрування формули.

Таблиця порівняння

Параметри порівняння	інтеграцією	Часткова інтеграція
Визначення	Це антипохідна функція в математиці.	Метод інтеграції. Його ще називають інтегруванням по частинах.
Formula	Існує понад двадцять формул інтегрування для кожної функції (тригонометрична, алгебраична, обернена, експоненціальна)	Формула інтегрування uv: ∫ udv = uv – ∫ v du
Скористайтесь	Він визначає об’єм, площу та інші розміри багатьох речей.	Це спрощує вираз для легкої інтеграції.
типи	Визначені та невизначені інтеграли.	Немає типів
Правила	Інтеграція протилежна деривації.	LIATE-Logarthem, зворотні тригонометричні, алгебраїчні, тригонометричні та експоненціальні функції.

Що таке інтеграція?

Інтеграція є основним методом, якому слід навчати в обчисленні, якому передує диференціювання. І Ісаак Ньютон, і Готфрід Вільгельм Лейбніц окремо розробили інтеграцію наприкінці 17 століття.

Відповідно до цієї теорії, площа під кривою є сумою нескінченних прямокутників нескінченної ширини.

Крім того, в численні існує два типи інтегрування: визначене та невизначене. Визначений інтеграл — площа під кривою з двома фіксованими верхньою та нижньою межами.

З іншого боку, невизначений інтеграл — це площа під кривою без верхньої та нижньої меж.

Крім того, за допомогою похідної функції можна визначити антипохідну за допомогою формул і методів; цей метод називається інтеграцією.

Крім того, для розв’язання інтегрування необхідно дотримуватися певних правил, наприклад правила суми та різниці, степеня, постійного множення та взаємних правил.

Інтеграли деяких функцій можна отримати за допомогою чотирьох методів: інтегрування шляхом підстановки, розкладання, часткового інтегрування та інтегрування неповними дробами.

∫ — це символ, який представляє інтеграл функції. Наприклад, ∫ 1.dx = x + C означає, що інтегрування 1 (константа) дорівнює сумі X і C (константа). 

Що таке часткова інтеграція?

За допомогою цього методу необхідно розв’язати дві функції. Він також відомий як інтеграція за частинами. Часткове інтегрування — один із методів інтегрування, запропонований математиком Бруком Тейлором у 1715 році.

Це спрощує інтеграцію добутку функцій в інтеграли для легкого обчислення. Ця техніка призначена для обчислення інтегральних виразів без формул прямого інтегрування, таких як обернені тригонометричні та логарифмічні функції.

Часткове інтегрування полягає в пошуку першопохідних функцій, які не мають точних розв’язків для тригонометричних, експоненціальних і логарифмічних функцій, як у випадку поліномів. 

∫ udv = uv – ∫ v du — це інтегрування формули uv, яка використовується для розв’язання функції шляхом часткового інтегрування. Дві функції, u і v, є інтегралами, які потрібно розв’язати.

Крім того, LIATE – логарифмічна, обернена тригонометрична, алгебраїчна, тригонометрична та експоненціальна – це впорядкований набір функцій, яким слід керуватися для часткової інтеграції.

Відповідно, першим кроком є ​​правильна ідентифікація функцій u і v на основі LIATE.

Таким чином, інтеграція (добутку першої функції та другої функції) дорівнює різниці {добутку (першої функції) та (інтеграції другої функції)} та інтеграції { добутку (диференціювання першої функції) та інтегрування другої функції)}. 

Основні відмінності між інтеграцією та частковою інтеграцією 

1. Інтегрування є основним методом числення, який використовується для знаходження першопохідної функцій. Тоді як часткова інтеграція є одним із методів інтеграції. 
2. Метод інтегрування здійснюється шляхом запису формул і їх розв’язання. Тим часом часткова інтеграція використовує int ∫ udv=u v- ∫ int v du. 
3. Інтеграція була сформульована Іссаком Ньютоном і Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем наприкінці 17 століття. Тим часом, часткове інтегрування було розроблено математиком Бруком Тейлором у 1715 році. 
4. Інтегрування функції допомагає визначити площу під кривою на графіку. З іншого боку, часткова інтеграція допомагає спростити вираз для легкої інтеграції. 
5. Інтегрування відповідає основним правилам, таким як правило ступеня, правило суми та правило множення. Однак часткове інтегрування підкоряється лише одному правилу під назвою LIATE (логарифмічний, обернений тригонометричний, алгебраїчний, тригонометричний та експоненціальний). 

посилання

1. https://www.emerald.com/insight/content/doi/10.1108/eb039143/full/html
2. https://heinonline.org/hol-cgi-bin/get_pdf.cgi?handle=hein.journals/taxlr47&section=33

Останнє оновлення: 13 лютого 2024 р