算术数列与几何数列：差异与比较

算术数列涉及连续项之间的恒定差，而几何数列涉及连续项之间的恒定比率。

关键精华

1. 算术数列是一个数列，其中每一项都是通过在前一项上加上一个常数来获得的。
2. 几何序列是一个序列，其中每一项都是通过将一个常数乘以前一项而获得的。
3. 算术序列用于建模线性关系，而几何序列用于建模指数关系。

算术序列与几何序列

等差数列的元素之间的变化是线性的，而等比数列的元素之间的变化是指数的。 无限等差数列发散； 另一方面，无限几何序列根据情况收敛或发散。

等差数列中两个连续项之间的差异是常见的。 另一方面，几何序列中两个连续项的比率称为标准比率。

对比表

专栏	算术序列	几何序列
定义	每一项都是通过将常数值（公差）与前一项相加而获得的序列。	一个序列，其中每一项都是通过将前一项乘以常数值（公比）而获得的。
公式	a_n = a_1 + d(n-1)	a_n = a_1 * r^(n-1)
主要特点	术语之间的恒定差异。	项之间的比率恒定。
宠物行为研究	项按恒定值增加或减少。	术语呈指数增加或减少。
前 n 项之和	S_n = n/2 * (a_1 + a_n)	S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
国际私人包机价格项目范例	2、5、8、11、14、……	2、6、18、54、162、……
应用领域	金融计算、人口增长、物理学（下落物体）、音乐理论	复利、指数衰减、人口增长、几何形状

什么是算术序列？

算术序列是一个数字序列，其中每一项是 通过添加一个常数值得到 （叫做 公差) 到上一个术语。 它是一种特定的序列类型，具有可预测的行为和在各个领域的应用。

以下是其主要特征的细分：

定义：

• 一个有序的数字列表，其中每一项都通过以下方式获得 将相同的数字（公差）添加到前一项.

分子式：

• a_n = a_1 + d(n-1)
  • a_n：序列的第 n 项。
  • a_1：序列的第一项。
  • d：公差。
  • n：术语在序列中的位置。

主要特点：

• 常数公差： 每一项都与前一项相差相同的常数值，决定了序列的进展。

行为：

• 线性进展： 该条款 增加或减少 恒定值 (d)。
• 可预测的模式： 由于差异恒定，序列的项很容易预测，并且可以使用公式进行计算。

前 n 项之和：

• S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
  • S_n：前n项之和。
  • n：项数。
  • a_1：第一项。
  • a_n：第 n 项。

例子：

• 2, 5, 8, 11, 14, …（公差为 3）
• -10, -7, -4, -1, 2, …（公差为 3）
• 3, 7, 11, 15, 19, …（公差为 4）

应用：

• 财经： 计算复利、贷款支付和未来价值。
• 物理： 分析下落物体、抛射运动和简谐振动。
• 音乐理论： 了解音程和音阶。
• 人口增长： 对人口随时间线性增长进行建模。

什么是几何序列？

几何数列是一个数字序列，其中每一项是 将前一项乘以常数值得到 （叫做 公比）。 它是一种特定的序列类型，具有独特的特征和在众多领域的应用。

以下是其主要功能的详细介绍：

定义：

• 一个有序的数字列表，其中 项之间的关系基于常数乘法.
• 每一项都是通过以下方式获得的 将前一项乘以固定数（公比）.

分子式：

• a_n = a_1 * r^(n-1)
  • a_n：序列的第 n 项。
  • a_1：序列的第一项。
  • r：公比。
  • n：术语在序列中的位置。

主要特点：

• 恒定公比： 该序列通过将每一项乘以相同的常数值 (r) 来进行，从而确定其增长或衰减。

行为：

• 指数增长或衰减： 根据公比的值，序列的项可以呈指数增加或减少。
• 快速变化： 与算术序列相比，几何序列随着序列的进展经历更快的变化率。

收敛或发散：

• 如果公比的绝对值小于1，则几何数列收敛。
• 如果公比的绝对值大于或等于1，它就会发散。

前 n 项之和：

• S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
  • S_n：前n项之和。
  • n：项数。
  • a_1：第一项。
  • r：公比。

例子：

• 2, 6, 18, 54, 162, …（公比为3）
• 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … (common ratio of 1/2)
• -3, 9, -27, 81, -243, …（常用比为-3）

应用：

• 财经： 计算复利、指数增长模型和折旧。
• 科学： 对放射性衰变、资源有限的人口增长和几何形状进行建模。
• 音乐理论： 了解与音高相关的音程和对数。
• 密码学： 基于模运算实现加密算法。

算术数列和几何数列之间的主要区别

1. 进展模式:
   • 算术数列：算术数列中的每一项都是通过将固定常数（称为“公差”）与前一项相加而获得的，从而产生线性级数。
   • 等比数列：等比数列中的每一项都是通过将前一项乘以固定常数（称为“公比”）获得的，从而产生指数级数。
2. 公式:
   • 算术数列：算术数列的一般公式为 an = a1 + (n – 1) * d，其中 an 代表第 n 项，a1 为第一项，d 为公差。
   • 等比数列：等比数列的通式为an = a1 * r^(n – 1)，其中an代表第n项，a1为第一项，r为公比。
3. 变动率:
   • 算术数列：连续项之间的变化率是常数，等于公差 (d)。
   • 等比数列：连续项之间的变化率是恒定的并且等于公比（r）。
4. 进展示例:
   • 算术数列：算术数列的示例为 2、4、6、8、10、...，其中公差 (d) 为 2。
   • 等比数列：等比数列的示例为 3, 6, 12, 24, 48, …，其中公比 (r) 为 2。
5. 条款性质:
   • 算术数列：算术数列中的项表示每一项增加或减少固定量的量。
   • 几何数列：几何数列中的项表示每项按固定比例增长或减少的量。
6. 条款总和:
   • 算术数列：算术数列的前 n 项之和可以使用公式 Sn = (n/2) * [2 * a1 + (n – 1) * d] 计算，其中 Sn 是总和，n 是项数，a1 是第一项，d 是公差。
   • 等比数列：等比数列前 n 项的总和可以使用公式 Sn = (a1 * (1 – r^n)) / (1 – r) 计算，其中 Sn 是总和，n 是数字项中，a1 是第一项，r 是公比。

参考资料

1. https://arxiv.org/pdf/1001.5055
2. https://msp.org/pjm/1971/38-2/pjm-v38-n2-p05-s.pdf

最后更新时间：11 年 2023 月 XNUMX 日