سلسلة تايلور مقابل ماكلورين: الفرق والمقارنة

باستثناء الحشرات الطائرة ، هناك شيء آخر يحتقره معظم الناس: الحساب. عندما يتعلق الأمر بالحساب ، غالبًا ما تغلب علينا الرهبة.

يبدو أن الأرقام تهز جماجمنا ، ويبدو أن الحساب يستهلك كل طاقة حياتنا. نحن نتفاعل باستمرار مع الحساب ، من العد إلى العمليات الحسابية المعقدة.

ومع ذلك ، يجب أن نتعامل معها. يجب تلبية تايلور وماكلورين.

الوجبات السريعة الرئيسية

1. سلسلة تايلور هي تمثيل رياضي لوظيفة ما كمجموع لا نهائي من مشتقاتها عند نقطة معينة. في المقابل ، فإن سلسلة Maclaurin هي حالة خاصة من سلسلة Taylor المتمركزة عند الصفر.
2. كل من دوال السلاسل التقريبية وحل المشكلات الرياضية المعقدة التي تتضمن دوال متجاوزة أو تكاملات صعبة.
3. توفر سلسلة Taylor و Maclaurin أساسًا للعديد من مجالات الرياضيات ، بما في ذلك حساب التفاضل والتكامل ، والتحليل ، والأساليب العددية.

سلسلة Taylor vs Maclaurin

تمثل سلسلة تايلور وظيفة كمجموع لا نهائي من المصطلحات المحسوبة في نقطة واحدة. سلسلة Maclaurin هي حالة من سلسلة Taylor ، حيث نقطة التوسع هي صفر. العمل مع سلسلة Maclaurin أسهل بسبب الخصائص الملائمة للوظائف عند الصفر.

سلسلة Taylor هي بالفعل متغير يتم تمثيله على أنه وظيفة الأسية من الإدخالات المحددة من معاملات اختلافات السلسلة الفرعية في موضع واحد.

إنها ممارسة طبيعية بالفعل لتقريب القيمة. يمكن أن توفر سلسلة Taylor تقييمات دقيقة لعدم الدقة في نهج التقريب هذا.

تيلور التربيعي هي العبارة المستخدمة للإشارة إلى العدد المحدود من عناصر السمات الأساسية في سلسلة تايلور.

يعتبر Colin Maclaurin بالفعل مصدر إلهام لسلسلة Maclaurin. كان كولين ماكلورين عالم رياضيات اسكتلندي استخدم سلسلة تايلور على نطاق واسع في القرن الثامن عشر.

تسلسل Maclaurin هو تكبير لملف الإجراء المخزن سلسلة تايلور تقريبا صفر. ثلاثية Laurent وامتياز Puiseux هما شكلين أكثر عمومية من السلسلة.

إذا تمركزت سلسلة Taylor في موقع الصفر ، فإنها تنتج سلسلة Maclaurin.

جدول المقارنة

معلمات المقارنة	سلسلة تايلور	سلسلة Maclaurin
معنى	تسلسل تايلور هو تعبير جبري عن المتغيرات التي يتم تنفيذها على شكل مؤشر ترابط تنسيق.	إذا تمركز تسلسل تايلور عند التقاطع الصفري ، فإن المجموعة تصبح سلسلة Maclaurin.
عملية حسابية	تُستخدم معاملات مشتقات القياس في وجهة معينة لحساب سلسلة تايلور.	امتداد لمصفوفة ثابتة لسلسلة تايلور حول الصفر هي عملية Maclaurin.
مستمد	أثار بروك تايلور حكاية تايلور. كان باحثًا أمريكيًا عام 1715.	لوحة Maclaurin الثلاثية مستوحاة من Colin Maclaurin. عالم رياضيات من المملكة المتحدة.
استخدام	يستخدم مصطلح "جبرية تايلور" لوصف مجموعة معادلات العناصر الأولية المقيدة لامتياز تايلور.	في الحساب وفيزياء الكم ، فإن لتسلسل Maclaurin عدة أغراض.
مسلسلات	وفقًا لتايلور ، تتجمع سلسلة نابضة بالحياة إلى قيمة F على أساس شامل تضم A.	بالنظر إلى F في Maclaurin ، يسمى نمط تايلور للشخصية الدورية عند x = 0 تسلسل Maclaurin.

ما هي سلسلة تايلور؟

يمكن أيضًا استخدام سلسلة Taylor لتحديد الخوارزميات المعقدة. يمكن استخدام سلسلة Taylor لاشتقاق التجميع الكسري لمعاملات تايلور من خلال استخدام مناهج التقريب عبر المجال.

التمايز و استيعاب الطريقة العددية ، والتي يمكن إجراؤها بين كل مصطلح ، هي استخدام آخر لتسلسل تايلور.

من خلال دمج القيمة التحليلية مع ميزة الصورة الكاملة على محور وهمي ، قد تؤدي سلسلة تايلور أيضًا إلى حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.

يمكن أيضًا تطبيقه لاكتساب وتقييم الكميات العددية لسلسلة مختصرة. يتم استخدام معادلة Chebyshev واستراتيجية Clenshaw للقيام بذلك.

من المزايا الأخرى لسلسلة تايلور أنه يمكن استخدامها في الحسابات الجبرية. يستخدم أحد الأمثلة نظرية أويلر جنبًا إلى جنب مع سلسلة تايلور لتوسيع التعبيرات اللوغاريتمية والأسية.

يمكن تطبيق هذا على التحليل التوافقي. يمكن أحيانًا تطبيق سلسلة تايلور في الفيزياء.

سلسلة تايلور عبارة عن توسع وظيفي لسلسلة حول موقع محدد مسبقًا. تسلسل تايلور من خلال بُعد واحد هو امتداد لغرض وظيفي حول قمة الرأس f (x) x = a.

إذا كان لدى كثير الحدود f سلسلة محتملة عند a تتراكم إلى f على فاصل زمني مفتوح معين يشمل محور الوحدة هذا يسمى تسلسل تايلور لـ f عند a.

ما هي سلسلة Maclaurin؟

أوضح لنا كولين ماكلورين كيفية البدء من نقطة معينة وحساب الاختلافات غير المحدودة ، مدركًا أن المجموع بين هذه العوامل يجسد كثير الحدود نفسه.

سنبدأ بالصيغة الشاملة لسلسلة Taylor ونعمل في طريقنا للتعرف على الهيكل الدقيق المستخدم. سنستعرض العديد من الأمثلة حول كيفية بناء غير خطي وكيفية استخدامه لتشبه متغيرًا.

ثم سننظر أولاً في سلسلة Maclaurin بالإضافة إلى استكشاف بعض منهجيات التوسيع المهمة للغاية والتي نريد أن نعرفها حتى نتمكن من تطبيقها بسرعة بدلاً من محاولة إنشاء التقريب عن طريق نقطة الصفر.

تسلسل Maclaurin هو امتداد تسلسل ديناميكي جيد حول موقع محدد محدد 0. تتابع Maclaurin هو امتداد أحادي البعد لغرض وظيفي f (x) حول الموضع x = 0.

يجب أن يكون أحد المتطلبات الأساسية لشيء مثل المتغير قابلاً للتوسيع في تسلسل Maclaurin مطولًا وقابل للقياس بسهولة في نطاق عدد صحيح موجب.

يجب استخدام سلسلة Maclaurin لحساب قيمة التعبير بالكامل في كل نقطة. تتركز سلسلة Maclaurin على الصفر. تستخدم هذه السلسلة في مجموعة متنوعة من المجالات.

الاختلافات الرئيسية بين سلسلة تايلور وماكلورين

1. تشير عبارة تايلور الجبرية إلى النطاق المحدود لمتغيرات المكونات الأولية في سلسلة تايلور. من ناحية أخرى ، فإن سلسلة Maclaurin لها العديد من التطبيقات في الرياضيات والعلوم.
2. يتم حساب سلسلة تايلور باستخدام معاملات مشتقات المعلمات في وجهة مركزية. من ناحية أخرى ، فإن سلسلة Maclaurin هي توسيع لمجموعة ديناميكية من سلسلة Taylor حول لا شيء.
3. تسلسل تايلور هو تنفيذ سلسلة تنسيق كدالة أسية للمتغيرات. بينما إذا تمركزت سلسلة تايلور هناك عند منعطف الصفر ، فستصبح سلسلة Maclaurin.
4. سلسلة ديناميكية تتراكم عند ذلك إلى قيمة f في نطاق مفتوح بما في ذلك a ، على النحو الذي حدده تايلور. من ناحية أخرى ، يُطلق على اتجاه تايلور للرمز الدوري عند x = 0 سلسلة Maclaurin لأن f في Maclaurin.
5. ألهم بروك تايلور قصة تايلور. في عام 1715 ، كان بروك تايلور بالفعل إحصائيًا أمريكيًا. في حين أن كولين ماكلورين هو مصدر إلهام لثلاثية ماكلورين. كان كولين ماكلورين عالم رياضيات بريطانيًا استخدم على نطاق واسع مجموعة تايلور في القرنين السابع عشر والثامن عشر.

مراجع حسابات

1.  https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X21500043
2. https://sam.nitk.ac.in/courses/MA111/Taylor%20and%20Maclaurin%20Series.pdf

آخر تحديث: 13 يوليو 2023