Integration vs. Teilintegration: Unterschied und Vergleich

Das Lösen von Integralfunktionen mithilfe von Formel- oder Teilmethoden wird als Integration bezeichnet. Darüber hinaus sind Differenzierung und Integration die beiden grundlegendsten und wesentlichsten Operationen der Analysis.

Es dient als Werkzeug, um Probleme in Mathematik und Physik zu entschlüsseln; die Fläche einer variablen Form, der Abstand einer Kurve und das Volumen eines Festkörpers.

Key Take Away

1. Die Integration berechnet die Fläche unter einer Kurve oder die Stammfunktion einer Funktion und bietet eine Möglichkeit, den akkumulierten Wert einer Variablen über ein bestimmtes Intervall zu finden, während die partielle Integration, auch als partielle Integration bekannt, eine Technik ist, die verwendet wird, um Produkte von zwei zu integrieren Funktionen.
2. Integration ist ein grundlegendes Konzept in der Infinitesimalrechnung, das auf eine Vielzahl von Problemen in Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften anwendbar ist. Im Gegensatz dazu ist die partielle Integration eine spezifische Methode innerhalb der Integration, die verwendet wird, wenn Standardintegrationstechniken nicht anwendbar sind.
3. Die Integration stützt sich auf verschiedene Regeln, wie z. B. die Potenz-, Ketten- und Substitutionsmethoden. Im Gegensatz dazu basiert die partielle Integration auf der Produktregel für die Differenzierung, was einen systematischen Ansatz zur Lösung komplexerer Integrale ermöglicht.

Integration vs. Teilintegration

Der Unterschied zwischen Integration und partieller Integration besteht darin, dass Integration die einfache Stammfunktion einer Funktion ist, die mithilfe von Formeln bestimmt wird. Andererseits ist die partielle Integration eine Methode, die verwendet wird, um eine rationale Bruchfunktion mit komplexen Termen im Nenner gemäß der LIATE-Regel teilweise aufzuschlüsseln und dann zu integrieren.

Integration ist die einfachste Form einer Antiableitung einer Funktion. Mit anderen Worten, es ist eine mathematische Methode, jeden Teil zu einem Ganzen zu vereinen.

Es berechnet die Fläche der begrenzten Regionen oder die Kurven unter den Diagrammen. Es verfügt über zwanzig Integrationsformeln für verschiedene Funktionen wie Trigonometrie, Algebra, Inverse und Exponentialfunktionen.

Partielle Integration wird auch partielle Integration genannt. Es ist eine der Integrationsmethoden, die 1715 vom Mathematiker Brook Taylor entwickelt wurde.

Die partielle Integrationsformel berechnet dadurch Integrale einfacher, indem sie die Integration von Funktionen in Produkte vereinfacht. Darüber hinaus funktioniert es gut mit Integralausdrücken, die keine direkte Integration haben Formeln.

Vergleichstabelle

Vergleichsparameter	Integration	Teilintegration
Definition	Es ist die Stammfunktion einer Funktion in der Mathematik.	Eine Integrationsmethode. Sie wird auch als partielle Integration bezeichnet.
Formel	Es gibt über zwanzig Integrationsformeln für jede Funktion (Trigonometrie, Algebra, Invers, Exponential)	Die uv-Integrationsformel: ∫ udv = uv – ∫ v du
Verwenden Sie die	Es bestimmt das Volumen, die Fläche und andere Dimensionen vieler Dinge.	Es vereinfacht den Ausdruck für eine einfache Integration.
Typen	Bestimmte und unbestimmte Integrale.	Keine Typen
Regeln	Integration ist das Gegenteil von Ableitung.	LIATE- Logarthem, inverse trigonometrische, algebraische, trigonometrische und Exponentialfunktionen.

Was ist Integration?

Integration ist die primäre Methode, die in der Analysis gelehrt wird, gefolgt von Differenzierung. Sowohl Isaac Newton als auch Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten im späten 17. Jahrhundert individuell die Integration.

Nach dieser Theorie ist die Fläche unter einer Kurve die Summe unendlicher Rechtecke unendlicher Breite.

Darüber hinaus gibt es in der Analysis zwei Arten der Integration: definitiv und unbestimmt. Das bestimmte Integral ist die Fläche unter der Kurve mit zwei festen Ober- und Untergrenzen.

Andererseits ist ein unbestimmtes Integral eine Fläche unter der Kurve ohne obere und untere Grenzen.

Außerdem kann man bei einer Funktionsableitung die Antiableitung mithilfe von Formeln und Techniken bestimmen; Diese Methode wird Integration genannt.

Darüber hinaus müssen bestimmte Regeln befolgt werden, um die Integration zu lösen, z. B. Summe und Differenz, Potenz, konstante Multiplikation und reziproke Regeln.

Integrale einiger Funktionen können mit vier Methoden erhalten werden: Integration durch Substitution, Zerlegung, partielle Integration und Integration durch Teilbrüche.

∫ ist das Symbol, das das Integral einer Funktion darstellt. Zum Beispiel bedeutet ∫ 1.dx = x + C, dass die Integration von 1 (eine Konstante) gleich der Summe von X und C (Konstante) ist. 

Was ist Teilintegration?

Mit dieser Methode sollen zwei Funktionen gelöst werden. Es wird auch als partielle Integration bezeichnet. Die partielle Integration ist eine der Integrationsmethoden, die 1715 vom Mathematiker Brook Taylor vorgeschlagen wurde.

Es vereinfacht die Integration des Funktionsprodukts in Integrale für eine einfache Berechnung. Mit dieser Technik werden Integralausdrücke ohne direkte Integrationsformeln berechnet, beispielsweise inverse trigonometrische und logarithmische Funktionen.

Bei der partiellen Integration geht es darum, Stammfunktionen von Funktionen zu finden, für die es keine exakten Lösungen gibt, wie im Fall von Polynomen die trigonometrischen, exponentiellen und logarithmischen Funktionen. 

∫ udv = uv – ∫ v du ist die Integration der UV-Formel, die zur Lösung einer Funktion durch partielle Integration verwendet wird. Die beiden Funktionen u und v sind die zu lösenden Integrale.

Darüber hinaus ist LIATE – logarithmisch, invers trigonometrisch, algebraisch, trigonometrisch und exponentiell ein geordneter Satz von Funktionen, die für die partielle Integration befolgt werden müssen.

Dementsprechend besteht der erste Schritt darin, die u- und v-Funktionen anhand des LIATE korrekt zu identifizieren.

Auf diese Weise ist die Integration von (Produkt der ersten Funktion und der zweiten Funktion) gleich der Differenz von {Produkt von (erste Funktion) und (Integration der zweiten Funktion)} und der Integration von {Produkt von (Differenzierung der ersten Funktion). und Integration der zweiten Funktion)}. 

Hauptunterschiede zwischen Integration und Teilintegration 

1. Integration ist die primäre Methode in der Analysis, die verwendet wird, um die Stammfunktion von Funktionen zu finden. Während die partielle Integration eine der Methoden der Integration ist. 
2. Bei der Integrationsmethode werden Formeln notiert und gelöst. Unterdessen verwendet die partielle Integration int ∫ udv=u v- ∫ int v du. 
3. Integration wurde Ende des 17. Jahrhunderts von Issac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz formuliert. Unterdessen wurde die partielle Integration 1715 vom Mathematiker Brook Taylor entwickelt. 
4. Die Integration einer Funktion hilft, die Fläche unter einer Kurve im Diagramm zu bestimmen. Andererseits hilft die partielle Integration bei der Vereinfachung des Ausdrucks für eine einfache Integration. 
5. Die Integration hält sich an die Grundregeln wie Potenzregel, Summenregel und Multiplikationsregel. Teilintegration gehorcht jedoch nur einer Regel namens LIATE (Logarithmic, Inverse Trigonometric, Algebraic, Trigonometric, and Exponential). 

Bibliographie

1. https://www.emerald.com/insight/content/doi/10.1108/eb039143/full/html
2. https://heinonline.org/hol-cgi-bin/get_pdf.cgi?handle=hein.journals/taxlr47&section=33

Letzte Aktualisierung: 13. Februar 2024