Parabel vs. Hyperbel: Unterschied und Vergleich

Ein Kegelschnitt ist eine Kurve, die entsteht, wenn eine Ebene einen Kegel in einem bestimmten Winkel schneidet. Es gibt drei Kegelschnitte – Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Eine Ellipse ist eine planare Kurve mit zwei Brennpunkten, die einem Kreis ähneln. Die Parabel und die Hyperbel sind jedoch verwirrende Schnitte.

Key Take Away

1. Parabeln sind U-förmige Kurven, die quadratische Funktionen darstellen, mit einer Symmetrieachse und einem einzelnen Scheitelpunkt.
2. Hyperbeln bestehen aus zwei unterschiedlichen Kurven, die Punkte mit einer konstanten Differenz zwischen den Abständen zwischen zwei Brennpunkten darstellen.
3. Sowohl Parabeln als auch Hyperbeln sind Kegelschnitte, aber sie weisen unterschiedliche Formen und mathematische Eigenschaften auf, wobei Parabeln einen einzigen Zweig und Hyperbeln zwei Zweige haben.

Parabel gegen Hyperbel

Parabel ist eine U-förmige Kurve, die um ihre Achse symmetrisch ist. Im Gegensatz dazu ist eine Hyperbel eine Art Kurve, die zwei Zweige hat, die sich nach oben oder unten öffnen und symmetrisch um ihren Mittelpunkt liegen. In der Mathematik werden sie durch verschiedene repräsentiert Gleichungen und unterschiedliche Eigenschaften haben.

Eine Parabel ist eine einzelne offene Kurve, die sich bis ins Unendliche erstreckt. Es ist U-förmig und hat einen Fokus und eine Leitlinie.

Eine Hyperbel ist eine offene Kurve mit zwei nicht verbundenen Zweigen. Es hat zwei Schwerpunkte und zwei Richtungen, eine für jede Einheit.

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Vergleichstabelle

Vergleichsparameter	Parabel	Hyperbel
Definition	Eine Parabel ist ein Ort der Punkte mit gleichem Abstand von einem Brennpunkt und einer Leitlinie.	Eine Hyperbel ist ein Ort der Punkte mit einer konstanten Differenz zwischen zwei Brennpunkten.
Form	Die Parabel ist eine offene Kurve, die einen Fokus und eine Leitlinie hat.	Die Hyperbel ist eine offene Kurve mit zwei Ästen, zwei Brennpunkten und zwei Leitlinien.
Exzentrizität	Die nicht negative Exzentrizität einer Parabel ist eins.	Die nicht negative Exzentrizität e einer Hyperbel ist größer als eins.
Schnittpunkt der Ebene	Der Schnittpunkt der Ebene ist parallel (Idealfall) zur Schräghöhe des Kegels.	Der Schnittpunkt der Ebene ist parallel (Idealfall) zur senkrechten Höhe des Doppelkegels.
Allgemeine Gleichung	Die allgemeine Parabelgleichung lautet y = ax², a ≠ 0	Die allgemeine Gleichung der Hyperbel lautet x²/a² – y²/b² = 1

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Was ist Parabel?

Eine Parabel ist der Ort aller Punkte, die von einem Punkt und einer Geraden gleich weit entfernt sind. Dieser Punkt wird Fokus genannt, und diese Linie wird Leitlinie genannt.

Eine Parabel entsteht, wenn eine Ebene einen Kegel in paralleler Richtung (Idealfall) zu seiner Schräge schneidet Höhe.

Die allgemeine Gleichung einer Parabel ist gegeben als

y = ax², a ≠ 0

Der Wert von a bestimmt die Form der Kurve.

Ist a > 0, öffnet sich die Mündung der Parabel nach oben.

Ist a < 0, öffnet sich die Mündung der Parabel nach unten.

Der Fokus der obigen Parabel ist (0, 1/4a). Die Leitlinie ist (-1/4a).

Wenn jedoch a = 1 ist, wird die Parabel Einheitsparabel genannt.

Eine Parabel hat eine Exzentrizität von eins.

Eine Parabel ist symmetrisch um ihre Achse. In unendlicher Entfernung erscheinen die Kurven als parallele Linien.

 

Was ist Hyperbel?

Eine Hyperbel ist der Ort aller Punkte mit einer konstanten Differenz zwischen zwei verschiedenen Punkten. Diese Punkte werden die Brennpunkte der Hyperbel genannt.

Eine Hyperbel wird gebildet, wenn eine feste Ebene einen Kegel in einer Richtung parallel zu seiner senkrechten Höhe schneidet.

Die allgemeine Gleichung einer Hyperbel ist gegeben als

(x-α)²/a² – (y-β)²/b² = 1

Die Brennpunkte der obigen Hyperbel sind ( α ± sqrt( a²+b²), β).

Die Eckpunkte sind (±a, β).

Eine Hyperbel hat eine Exzentrizität, die größer als eins ist.

Eine Hyperbel hat zwei Symmetrieachsen. Dies sind die Querachse und die konjugierte Achse.

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Hauptunterschiede zwischen Parabel und Hyperbel

Eine Parabel und eine Hyperbel sind Kegelschnitte. Sie haben unterschiedliche Formen und Eigenschaften.

Die Hauptunterschiede zwischen den beiden sind:

1. Eine Parabel ist ein Ort aller Punkte mit gleichem Abstand von einem Brennpunkt und einer Leitlinie. Andererseits ist eine Hyperbel ein Ort aller Themen, für die der Abstandsunterschied zwischen zwei Brennpunkten konstant ist.
2. Eine Parabel ist eine offene Kurve mit einem Brennpunkt und einer Leitlinie, während eine Hyperbel eine offene Kurve mit zwei Ästen mit zwei Brennpunkten und Leitlinien ist.
3. Die Exzentrizität einer Parabel ist eins, während die Exzentrizität einer Hyperbel signifikanter als eins ist.
4. Eine Parabel entsteht, wenn die Ebene einen Kegel entlang seiner schrägen Höhe schneidet. Andererseits wird eine Hyperbel gebildet, wenn die Ebene einen Kegel entlang seiner senkrechten Höhe schneidet.
5. Die Gleichung für eine Parabel lautet y = ax². Andererseits lautet die Gleichung für eine Hyperbel x²/a² – y²/b² = 1.

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Bibliographie

1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ao-54-24-7148
2. https://asmedigitalcollection.asme.org/appliedmechanics/article-abstract/68/4/537/449711

Letzte Aktualisierung: 11. Juni 2023