Lagrangian vs Euleri lähenemine: erinevus ja võrdlus

Võtme tagasivõtmine

1. Lagrange'i vaade järgib ruumis ja ajas liikudes individuaalset vedelikku. Euleri vaade keskendub konkreetsetele kohtadele ruumis, mille kaudu vedelik voolab.
2. Lagrangi spetsifikatsioonides liiguvad koordinaadid koos vedelikupakkidega, nii et see on kasulik trajektooride, deformatsioonide ja pöörete jälgimiseks. Euleri koordinaadid on ruumis fikseeritud, nii et need on paremad voogude, kiiruste ja kiirenduste analüüsimiseks.
3. Lagrangi meetodit kasutatakse tavaliselt ookeanihoovuste, atmosfääri õhumasside ja kosmoselaevade trajektooride jälgimiseks. Euleri lähenemine sobib hästi püsiseadmetega (nt turbiinid, pumbad või lennukitiivad) seotud probleemide korral.

Mis on Lagrange'i lähenemine?

Lagrangi lähenemine, tuntud ka kui Lagrangi formalism või Lagrangi mehaanika, on matemaatiline ja kontseptuaalne raamistik, mida kasutatakse füüsikas süsteemi dünaamika kirjeldamiseks. See pakub alternatiivse sõnastuse traditsioonilisemale Newtoni lähenemisviisile osakeste ja süsteemide liikumise analüüsimiseks. Lagrange'i lähenemine on eriti kasulik keeruliste piirangute, mitte-Cartesiuse koordinaatide ja invariantsi põhimõtetega süsteemide puhul, kuna see lihtsustab matemaatilist analüüsi ja annab ülevaate süsteemi aluseks olevatest sümmeetriatest.

Lagrange'i lähenemisviis pakub mitmeid eeliseid, sealhulgas selle võimet käsitleda piiranguid ning paljastada süsteemiga seotud sümmeetriad ja looduskaitseseadused. Seda kasutatakse laialdaselt klassikalises mehaanikas, kvantmehaanikas, väljateoorias ja muudes füüsikavaldkondades, kus Newtoni lähenemine võib muutuda tülikaks või vähem läbinägelikuks.

Mis on Euleri lähenemine?

Euleri lähenemisviis on matemaatiline ja arvutuslik raamistik, mis analüüsib vedeliku dünaamikat, eriti vedelike liikumise ja käitumise uurimisel. See on oma nime saanud Šveitsi matemaatiku Leonhard Euleri järgi, kes andis märkimisväärse panuse erinevatesse matemaatika ja füüsika valdkondadesse, sealhulgas vedeliku dünaamikasse.

Euleri lähenemine annab võimsa raamistiku vedeliku dünaamika uurimiseks olukordades, kus vedeliku kollektiivne käitumine on esmatähtis. Seda kasutatakse tavaliselt meteoroloogias, hüdrodünaamikas, aerodünaamikas ja kõigis valdkondades, kus on ülioluline mõista, kuidas vedelikud liiguvad ja interakteeruvad.

Erinevus Lagrangi ja Euleri lähenemisviisi vahel

1. Lagrangian keskendub üksikute osakeste või objektide liikumise jälgimisele nende liikumisel läbi ruumi. Igale osakesele on määratud kindlad koordinaadid, mis aja jooksul arenevad. Eulerian keskendub aine voolu jälgimisele ruumi fikseeritud punktides, olenemata sellest, millised osakesed need punktid hõivavad. Koordinaadid jäävad fikseerituks, samal ajal kui vedeliku omadused varieeruvad.
2. Lagrangian kirjeldab iga üksiku osakese omadusi, nagu kiirus, asend ja impulss, otse aja ja osakeste spetsiifiliste koordinaatide kaudu. Eulerian kirjeldab omadusi, nagu kiirus, rõhk ja tihedus, nii ruumiliste koordinaatide kui ka aja pidevate funktsioonidena.
3. Lagrangian tuletab liikumisvõrrandid, võttes arvesse tegevuspõhimõtet, mille tulemuseks on iga osakese koordinaatide teist järku diferentsiaalvõrrandid. Eulerian tuletab osalisi diferentsiaalvõrrandeid (PDE), mis kirjeldavad, kuidas vedeliku omadused muutuvad teatud aja ja ruumi punktides, lähtudes ümbritsevatest tingimustest.
4. Lagrangian on eriti kasulik üksikute osakeste trajektooride, diskreetsete süsteemide mehaanika ja piirangutega süsteemide uurimiseks. Eulerian sobib hästi suuremahuliste voolumustrite, turbulentsi ja paljusid osakesi hõlmava käitumise, näiteks vedeliku dünaamika analüüsimiseks.
5. Lagrangean on kasulik osakestepõhiste simulatsioonide jaoks ja üksikute osakeste käitumise jälgimiseks, kuid võib olla paljude osakeste jaoks arvutusintensiivne. Euleriani kasutatakse ruudustikupõhistes simulatsioonides (Computational Fluid Dynamics ehk CFD), kus omadused arvutatakse fikseeritud ruudustikul, võimaldades vedeliku voolu tõhusat käsitlemist paljudes skaalades.

Lagrangi ja Euleri lähenemise võrdlus

Võrdlusparameetrid	Lagrangi lähenemine	Euleri lähenemine
Aja evolutsioon	Jälgib üksikute osakeste trajektoore.	Jälgib vedeliku omadusi kindlates ruumipunktides.
Liikumisvõrrandid	Hõlmab teist järku diferentsiaalvõrrandeid.	Hõlmab osalisi diferentsiaalvõrrandeid (PDE).
Osakeste identifitseerimine	Igal osakesel on ainulaadsed koordinaadid.	Keskendub vedeliku omadustele fikseeritud koordinaatidel.
Osakeste interaktsioon	Sobib väheste interakteeruvate osadega süsteemidele.	Tõhus keerukate vedelike vastasmõjude analüüsimiseks.
Piirangute käsitlemine	Kasulik piirangutega süsteemide uurimiseks.	Vähem mures piirangute pärast, makroskoopilisem.

viited

1. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1352231014000946
2. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0032591019308204

Viimati värskendatud: 14. oktoober 2023