अंकगणित बनाम ज्यामितीय अनुक्रम: अंतर और तुलना

अंकगणितीय अनुक्रमों में लगातार पदों के बीच एक स्थिर अंतर शामिल होता है, जबकि ज्यामितीय अनुक्रमों में लगातार पदों के बीच एक स्थिर अनुपात शामिल होता है।

चाबी छीन लेना

1. अंकगणितीय अनुक्रम एक अनुक्रम है जहां प्रत्येक पद पूर्ववर्ती पद में एक स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
2. ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम है जहां प्रत्येक पद एक स्थिरांक को पिछले पद से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
3. अंकगणितीय अनुक्रम का उपयोग रैखिक संबंधों को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जबकि ज्यामितीय अनुक्रम का उपयोग घातीय संबंधों को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

अंकगणित बनाम ज्यामितीय अनुक्रम

अंकगणितीय अनुक्रम के सदस्यों के बीच भिन्नता रैखिक होती है, जबकि ज्यामितीय अनुक्रम के तत्वों में भिन्नता घातांकीय होती है। अनंत अंकगणितीय अनुक्रम विचलन करता है; दूसरी ओर, स्थिति के आधार पर, अनंत ज्यामितीय अनुक्रम अभिसरण या विचलन करते हैं।

अंकगणितीय अनुक्रम में दो क्रमागत पदों के बीच अंतर सामान्य है। दूसरी ओर, ज्यामितीय अनुक्रम में लगातार दो पदों के अनुपात को मानक अनुपात कहा जाता है।

तुलना तालिका

Feature	अंकगणित क्रम	ज्यामितीय अनुक्रम
परिभाषा	एक अनुक्रम जहां प्रत्येक पद पिछले पद में एक स्थिर मान (सामान्य अंतर) जोड़कर प्राप्त किया जाता है।	एक अनुक्रम जहां प्रत्येक पद को पिछले पद को एक स्थिर मान (सामान्य अनुपात) से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
सूत्र	a_n = a_1 + d(n-1)	a_n = a_1 * r^(n-1)
प्रमुख विशेषता	पदों के बीच लगातार अंतर.	पदों के बीच स्थिर अनुपात.
व्यवहार	पद एक स्थिर मान से बढ़ते या घटते हैं।	शर्तें तेजी से बढ़ती या घटती हैं।
प्रथम n पदों का योग	S_n = n/2 * (a_1 + a_n)	S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
उदाहरण	2, 5, 8, 11, 14,…	2, 6, 18, 54, 162,…
अनुप्रयोगों	वित्तीय गणना, जनसंख्या वृद्धि, भौतिकी (गिरती वस्तुएं), संगीत सिद्धांत	चक्रवृद्धि ब्याज, घातांकीय क्षय, जनसंख्या वृद्धि, ज्यामितीय आकार

अंकगणितीय अनुक्रम क्या है?

अंकगणितीय अनुक्रम संख्याओं का एक अनुक्रम है जहां प्रत्येक पद होता है एक स्थिर मान जोड़कर प्राप्त किया गया (इसको कॉल किया गया आम अंतर) पिछले कार्यकाल के लिए। यह विभिन्न क्षेत्रों में पूर्वानुमानित व्यवहार और अनुप्रयोगों के साथ एक विशिष्ट अनुक्रम प्रकार है।

यहां इसकी प्रमुख विशेषताओं का विवरण दिया गया है:

परिभाषा:

• संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची जहां प्रत्येक पद प्राप्त होता है पिछले पद में समान संख्या (सामान्य अंतर) जोड़ना.

फॉर्मूला:

• a_n = a_1 + d(n-1)
  • a_n: अनुक्रम का nवाँ पद।
  • a_1: अनुक्रम का पहला पद.
  • डी: सामान्य अंतर।
  • n: अनुक्रम में पद की स्थिति।

मुख्य विशेषता:

• लगातार सामान्य अंतर: प्रत्येक पद पिछले पद से समान स्थिर मान से भिन्न होता है, जो अनुक्रम की प्रगति को निर्धारित करता है।

व्यवहार:

• रैखिक प्रगति: शर्तें बढ़ा या घटा एक स्थिर मान (डी) द्वारा।
• पूर्वानुमानित पैटर्न: निरंतर अंतर के कारण, अनुक्रम की शर्तों का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है और सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

प्रथम n पदों का योग:

• S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
  • S_n: पहले n पदों का योग।
  • n: शब्दों की संख्या।
  • a_1: पहला पद.
  • a_n: nवाँ पद।

उदाहरण:

• 2,… (5 का सामान्य अंतर)
• -10, -7, -4, -1, 2,… (3 का सामान्य अंतर)
• 3,… (7 का सामान्य अंतर)

आवेदन:

• वित्त: चक्रवृद्धि ब्याज, ऋण भुगतान और भविष्य के मूल्यों की गणना।
• भौतिक विज्ञान: गिरती हुई वस्तुओं, प्रक्षेप्य गति, और सरल हार्मोनिक गति का विश्लेषण करना।
• संगीत सिद्धांत: अंतरालों और पैमानों को समझना.
• जनसंख्या वृद्धि: समय के साथ रैखिक जनसंख्या वृद्धि का मॉडलिंग करना।

एक ज्यामितीय अनुक्रम क्या है?

ज्यामितीय अनुक्रम संख्याओं का एक क्रम है जहां प्रत्येक पद होता है पिछले पद को एक स्थिर मान से गुणा करके प्राप्त किया जाता है (इसको कॉल किया गया सामान्य अनुपात). यह कई क्षेत्रों में विशिष्ट विशेषताओं और अनुप्रयोगों के साथ एक विशिष्ट अनुक्रम प्रकार है।

यहां इसकी प्रमुख विशेषताओं का विवरण दिया गया है:

परिभाषा:

• संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची जहां पदों के बीच संबंध निरंतर गुणन पर आधारित है.
• प्रत्येक पद द्वारा प्राप्त किया जाता है पिछले पद को एक निश्चित संख्या से गुणा करना (सामान्य अनुपात).

फॉर्मूला:

• a_n = a_1 * r^(n-1)
  • a_n: अनुक्रम का nवाँ पद।
  • a_1: अनुक्रम का पहला पद.
  • आर: सामान्य अनुपात।
  • n: अनुक्रम में पद की स्थिति।

मुख्य विशेषता:

• स्थिर सामान्य अनुपात: अनुक्रम प्रत्येक पद को समान स्थिर मान (आर) से गुणा करके, उसकी वृद्धि या क्षय को निर्धारित करके आगे बढ़ता है।

व्यवहार:

• घातीय वृद्धि या क्षय: सामान्य अनुपात के मूल्य के आधार पर, अनुक्रम की शर्तें तेजी से बढ़ या घट सकती हैं।
• तेजी से परिवर्तन: अंकगणितीय अनुक्रमों की तुलना में, जैसे-जैसे अनुक्रम आगे बढ़ता है, ज्यामितीय अनुक्रमों में परिवर्तन की दर तेज़ होती है।

अभिसरण या विचलन:

• यदि सामान्य अनुपात का निरपेक्ष मान 1 से कम है तो एक ज्यामितीय अनुक्रम अभिसरण करता है।
• यदि सामान्य अनुपात का पूर्ण मान 1 से अधिक या उसके बराबर है तो यह अलग हो जाता है।

प्रथम n पदों का योग:

• S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
  • S_n: पहले n पदों का योग।
  • n: शब्दों की संख्या।
  • a_1: पहला पद.
  • आर: सामान्य अनुपात।

उदाहरण:

• 2,… (6 का सामान्य अनुपात)
• 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … (common ratio of 1/2)
• -3,-9,-27,… (-81 का सामान्य अनुपात)

आवेदन:

• वित्त: चक्रवृद्धि ब्याज, घातीय वृद्धि मॉडल और मूल्यह्रास की गणना।
• विज्ञान: रेडियोधर्मी क्षय, सीमित संसाधनों के साथ जनसंख्या वृद्धि, और ज्यामितीय आकृतियों की मॉडलिंग।
• संगीत सिद्धांत: पिच से संबंधित अंतराल और लघुगणक को समझना।
• क्रिप्टोग्राफी: मॉड्यूलर अंकगणित पर आधारित एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम लागू करना।

अंकगणित और ज्यामितीय अनुक्रम के बीच मुख्य अंतर

1. प्रगति का पैटर्न:
   • अंकगणित अनुक्रम: अंकगणित अनुक्रम में प्रत्येक पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित स्थिरांक (जिसे "सामान्य अंतर" कहा जाता है) जोड़कर प्राप्त किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक रैखिक प्रगति होती है।
   • ज्यामितीय अनुक्रम: ज्यामितीय अनुक्रम में प्रत्येक पद पूर्ववर्ती पद को एक निश्चित स्थिरांक (जिसे "सामान्य अनुपात" कहा जाता है) से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक घातांकीय प्रगति होती है।
2. सूत्र:
   • अंकगणितीय अनुक्रम: अंकगणितीय अनुक्रम का सामान्य सूत्र a = a1 + (n – 1) * d है, जहां an nवें पद का प्रतिनिधित्व करता है, a1 पहला पद है, और d सामान्य अंतर है।
   • ज्यामितीय अनुक्रम: ज्यामितीय अनुक्रम का सामान्य सूत्र a = a1 * r^(n - 1) है, जहां an nवें पद का प्रतिनिधित्व करता है, a1 पहला पद है, और r सामान्य अनुपात है।
3. परिवर्तन की दर:
   • अंकगणित अनुक्रम: लगातार पदों के बीच परिवर्तन की दर स्थिर और सामान्य अंतर (डी) के बराबर है।
   • ज्यामितीय अनुक्रम: लगातार पदों के बीच परिवर्तन की दर स्थिर और सामान्य अनुपात (r) के बराबर होती है।
4. उदाहरण प्रगति:
   • अंकगणितीय अनुक्रम: अंकगणितीय अनुक्रम का एक उदाहरण 2, 4, 6, 8, 10, ... है, जहां सामान्य अंतर (डी) 2 है।
   • ज्यामितीय अनुक्रम: ज्यामितीय अनुक्रम का एक उदाहरण 3, 6, 12, 24, 48, ... है, जहां सामान्य अनुपात (आर) 2 है।
5. शर्तों की प्रकृति:
   • अंकगणितीय अनुक्रम: अंकगणितीय अनुक्रम में पद उन मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जो प्रत्येक पद के साथ एक निश्चित मात्रा में बढ़ती या घटती हैं।
   • ज्यामितीय अनुक्रम: ज्यामितीय अनुक्रम में पद उन मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जो प्रत्येक पद के साथ एक निश्चित अनुपात से बढ़ती या घटती हैं।
6. शर्तों का योग:
   • अंकगणितीय अनुक्रम: अंकगणितीय अनुक्रम के पहले n पदों के योग की गणना सूत्र Sn = (n/2) * [2 * a1 + (n - 1) * d] का उपयोग करके की जा सकती है, जहां Sn योग है, n है पदों की संख्या, a1 पहला पद है, और d सामान्य अंतर है।
   • ज्यामितीय अनुक्रम: ज्यामितीय अनुक्रम के पहले n पदों के योग की गणना सूत्र Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ Sn योग है, n संख्या है पदों में, a1 पहला पद है और r सामान्य अनुपात है।

संदर्भ

1. https://arxiv.org/pdf/1001.5055
2. https://msp.org/pjm/1971/38-2/pjm-v38-n2-p05-s.pdf

अंतिम अद्यतन: 11 दिसंबर, 2023