内積計算機

指示：

• ベクトル A と B を入力し、演算を選択します。
• 「計算」をクリックして計算を実行します。
• 以下の結果、計算の詳細、履歴をご覧ください。
• 「クリア」をクリックして入力と結果をリセットします。
• 「コピー」をクリックして結果をクリップボードにコピーします。

ベクトル A:

ベクトル B:

操作を選択します: 内積 Cross Product

計算 クリア コピー

結果：

計算の詳細:

計算履歴:

Dot Product Calculator は、XNUMX つのベクトルの内積を計算するツールです。 これは XNUMX つのベクトルを結合する基本的な方法であり、数学、物理学、工学で広く使用されています。

コンセプト

ドット積は、XNUMX つの等しい長さの数値シーケンス (座標ベクトル) を受け取り、単一の数値を返す代数演算です。 スカラー積としても知られています。 内積は XNUMX つのベクトルの相対的な方向を測定します。 これは、XNUMX つのベクトルがどの程度同じ方向を向いているかを示します。

フォーミュラ

XNUMX つのベクトル間に小さなドット ⋅ を付けて内積を書きます (「a ドット b」と発音します)。

a → ⋅ b → = ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ)

これを要因ごとに分解すると、最初の 0 つは「a → 」と「b → 」です。 これらは a → と b → の大きさであるため、ドット積ではベクトルの長さが考慮されます。 最後の係数は cos ( θ) です。ここで、θ は a → と b → の間の角度です。 これは、内積が方向に関係していることを示しています。 具体的には、θ = 0 の場合、1 つのベクトルはまったく同じ方向を指します。 ベクトルの大きさは考慮されていませんが、cos ( XNUMX) = XNUMX であるため、これは内積が最大になるときです。一般に、同じ方向を指す XNUMX つのベクトルが多いほど、それらの間の内積は大きくなります。

θ について考えるもう 2 つの方法は、一方のベクトルがもう一方のベクトルに影を落とすことを想像することです。 角度が小さい場合、影は原点から遠くに到達し、内積は大きくなります。 θ が π/XNUMX に近い場合、影は原点の近くに到達し、内積は小さくなります。

多変数微積分で内積を求める必要がある場合、a → と b → の座標しかありません。 ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ) を計算するには、XNUMX つの平方根と XNUMX つのコサインを見つける必要があり、これは大変な作業です。 幸いなことに、もっと簡単な方法があります。 対応するコンポーネントを乗算して追加するだけです。

a → = ( a 1, a 2, a 3) b → = ( b 1, b 2, b 3) a → ⋅ b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

この式は、任意の長さのベクトルに適用されます。

福利厚生

ドット積には多くの利点があります。 物理学では力によって行われる仕事を計算するために、コンピュータ グラフィックスでは照明と影を計算するために、機械学習ではベクトル間の類似性を計算するために使用されます。 また、エンジニアリングでシャフト上のトルクを計算したり、ナビゲーションで XNUMX 点間の距離を計算したりするためにも使用されます。

興味深い事実

• 内積は可換であり、a → ⋅ b → = b → ⋅ a → を意味します。
• 内積は分配的であり、a → ⋅ ( b → + c → ) = a → ⋅ b → + a → ⋅ c → を意味します。
• 内積は結合的ではありません。つまり、a → ⋅ ( b → ⋅ c → ) ≠ ( a → ⋅ b → ) ⋅ c → となります。

最終更新日 : 11 年 2023 月 XNUMX 日