จำนวนจริงกับจำนวนเต็ม: ความแตกต่างและการเปรียบเทียบ

ตัวเลขสามารถมีได้สองประเภท คือจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ ระบบจำนวนจริงจะแยกออกเป็นระบบจำนวนอื่นๆ

จำนวนจริงสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็มและเศษส่วนอยู่ภายใต้จำนวนตรรกยะ

เซตของจำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนเต็มและค่าลบ จำนวนจริงคือเซตของจำนวนธรรมชาติและศูนย์

ประเด็นที่สำคัญ

1. จำนวนจริงเป็นหมวดหมู่กว้างๆ ของตัวเลขที่รวมจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมด เช่น จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยม
2. จำนวนเต็มเป็นสับเซตของจำนวนจริง ซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มและจำนวนตรงข้าม เช่น -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 และอื่นๆ
3. ทั้งจำนวนจริงและจำนวนเต็มเป็นหมวดหมู่ของตัวเลข อย่างไรก็ตาม จำนวนจริงยังรวมถึงจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมด ในขณะที่จำนวนเต็มเป็นเซตย่อยเฉพาะของจำนวนจริงซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มและจำนวนที่ตรงข้ามกัน

จำนวนจริง vs จำนวนเต็ม

จำนวนจริงเป็นหมวดหมู่ของตัวเลขที่ครอบคลุม ซึ่งรวมถึงตัวเลขประเภทต่างๆ เช่น ทศนิยม เศษส่วน จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็มเป็นเซตย่อยหรือประเภทของจำนวนจริงที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมดบนเส้นจำนวนทั้งบวกและลบ

จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็มสามารถจัดเป็นจำนวนจริงได้ ในขณะที่จำนวนเต็มและค่าลบเท่านั้นที่อยู่ในระบบจำนวนเต็ม

ดังนั้น จำนวนจริง ได้แก่ เศษส่วนหรือทศนิยม ในทางกลับกัน จำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็ม (และค่าลบ) จำนวนเต็มไม่รวมเศษส่วนหรือทศนิยม

 

ตารางเปรียบเทียบ

พารามิเตอร์ของการเปรียบเทียบ	ตัวเลขจริง	จำนวนเต็ม
การจัดหมวดหมู่	จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็ม ล้วนจัดเป็นจำนวนจริง	เฉพาะจำนวนเต็มและค่าลบเท่านั้นที่จัดเป็นจำนวนเต็ม
การเกิดขึ้นของเศษส่วนหรือทศนิยม	เศษส่วนหรือทศนิยมเป็นจำนวนจริง	จำนวนเต็มไม่สามารถเป็นตัวเลขเศษส่วนหรือทศนิยมได้
การเป็นตัวแทนบนเส้นจำนวน	จุดใดๆ บนเส้นจำนวนคือจำนวนจริง	จำนวนเต็มและค่าลบบนเส้นจำนวนเป็นจำนวนเต็ม
ความสามารถในการนับ	จำนวนจริงสร้างเซตอนันต์ที่นับไม่ได้	จำนวนเต็มสร้างเซตอนันต์ที่นับได้
สัญลักษณ์สัญกรณ์	ชุดของจำนวนจริงทั้งหมดแสดงด้วย “R” หรือ “ℝ”	เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดแทนด้วย “Z”
ต้นกำเนิด	เรอเน เดส์การตส์เป็นผู้บัญญัติคำว่า "ของจริง" ขึ้นในศตวรรษที่ 17 เพื่ออธิบายรากเหง้าของพหุนามซึ่งไม่ใช่จินตภาพ พวกเขาถูกเรียกว่า "ของจริง" เพียงเพราะพวกเขาไม่ใช่ "จินตนาการ"	ในปี 1563 Arbermouth Holst ได้คิดค้นระบบเลขจำนวนเต็มเพื่อช่วยเขาทำการทดลองเกี่ยวกับกระต่ายและช้าง คำว่า "จำนวนเต็ม" จำนวนเต็มมีรากฐานมาจากคำภาษาละตินศตวรรษที่ 16 "จำนวนเต็ม" ซึ่งแปลว่า "ทั้งหมด" หรือ "ไม่เสียหาย"

---

 

จำนวนจริงคืออะไร?

จำนวนจริงเป็นส่วนสำคัญของ จักรวาล ของตัวเลข บทบาทของพวกเขาในการเติบโตของคณิตศาสตร์มีความสำคัญอย่างปฏิเสธไม่ได้

จำนวนใดๆ (ยกเว้นจำนวนจินตภาพ) ที่อยู่ในใจของคุณนั้นเป็นจำนวนจริง

ไม่ว่าจะเป็นบวก ลบ เศษส่วน อตรรกยะ หรือแม้แต่ 0

จำนวนจริงและเซตย่อยของจำนวนจริง (จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็ม) สามารถแสดงบนเส้นจำนวนธรรมชาติได้

เพื่อแยกความแตกต่างจากจำนวนจินตภาพ เดส์การตส์จึงบัญญัติคำว่า "ของจริง" เพื่ออธิบายรากของพหุนาม

อนุญาตให้มีค่าเป็นเศษส่วนได้ คุณลักษณะนี้เป็นสิ่งที่ทำให้แตกต่างจากจำนวนเต็ม

จำนวนจริงก่อให้เกิดอนันต์นับไม่ได้ หากเราหาจุดสองจุดบนเส้นจำนวน เช่น 0 และ 1 จะมีจำนวนจริงไม่จำกัดระหว่างจุดสองจุด

สัญลักษณ์ “R” หรือ “ℝ” แทนชุดของจำนวนจริงทั้งหมด

 

จำนวนเต็มคืออะไร?

ระบบจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของระบบจำนวนจริง นี่หมายความว่าจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นจำนวนจริง อย่างไรก็ตามสิ่งที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง

เฉพาะจำนวนเต็มและค่าลบเท่านั้นที่มีคุณสมบัติเป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็มรวมถึงจำนวนนับเช่น 0,1,2,3… และอื่น ๆ

การยกเว้นค่าเศษส่วนหรือทศนิยมทำให้ระบบนี้มีเอกลักษณ์และมีคุณค่า จำนวนจริงมีประวัติเบื้องหลังต้นกำเนิดที่น่าสนใจ

ในปี ค.ศ. 1563 Arbermouth Holst ได้ทำการทดลองเกี่ยวกับกระต่ายและช้าง

เพื่อช่วย พระองค์ ด้วยการทดลองนี้ เขาได้คิดค้นระบบตัวเลขนี้ขึ้นมา คำว่า "จำนวนเต็ม" มีรากฐานมาจากเลข 16^th- ศตวรรษคำภาษาละติน "จำนวนเต็ม" หมายถึง "ทั้งหมด" หรือ "ครบถ้วน"

ข้อเท็จจริงนี้เสริมความแข็งแกร่งให้กับลักษณะที่ไม่ใช่เศษส่วนของระบบนี้

จำนวนเต็มสร้างชุดของจำนวนอนันต์ที่นับได้ต่างจากจำนวนจริง หากเราหาจุดสองจุดบนเส้นจำนวนธรรมชาติ เช่น 0 และ 1 จะไม่มีจำนวนเต็มระหว่างจุดสองจุด

ตัวอักษร "Z" แทนเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด

---

ความแตกต่างหลักระหว่าง จำนวนจริงและจำนวนเต็ม

1. จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็ม ล้วนจัดเป็นจำนวนจริง เฉพาะจำนวนเต็มและค่าลบเท่านั้นที่จะจัดเป็นจำนวนเต็ม
2. เศษส่วนและทศนิยมสามารถรวมอยู่ในจำนวนจริงได้ แต่ไม่สามารถรวมอยู่ในจำนวนเต็มได้
3. เราสามารถใช้เส้นจำนวนธรรมชาติเพื่อแยกแยะระหว่างระบบตัวเลขทั้งสองได้ จุดใดก็ตามที่คุณเลือกบนบรรทัดนี้ อยากจะเป็น จำนวนจริง จำนวนเต็มและค่าลบบนเส้นจำนวนคือจำนวนเต็ม
4. ระบบจำนวนทั้งสองนี้เป็นเซตอนันต์โดยธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม จำนวนจริงก่อตัวเป็นกลุ่มไม่มีที่สิ้นสุดนับไม่ได้ และจำนวนเต็มก็มีเซตอนันต์ที่นับได้
5. ชุดของจำนวนจริงทั้งหมดแสดงด้วย "R" หรือ "ℝ" เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดแทนด้วย “Z”

อ้างอิง

1. https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/S002461150301428X
2. https://eebweb.arizona.edu/Faculty/Dornhaus/courses/materials/papers/Gallistel%20Gelman%20numbers%20counting%20cognition.pdf

อัพเดตล่าสุด : 11 มิถุนายน 2023