ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน: ความแตกต่างและการเปรียบเทียบ

ความสัมพันธ์และหน้าที่เชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออก เพื่อให้สามารถแยกแยะระหว่างความสัมพันธ์และหน้าที่ได้ ควรมีความเข้าใจแนวคิดนี้อย่างละเอียดถี่ถ้วน

ตลอดบทความนี้ เราจะแยกความแตกต่างระหว่างความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ฟังก์ชันอาจมีการแมปช่วงเดียวกัน เช่นเดียวกับความสัมพันธ์ ดังนั้นชุดของอินพุตจึงสอดคล้องกับอัตราผลตอบแทนเดียว

ประเด็นที่สำคัญ

1. ความสัมพันธ์คือชุดของคู่เรียงลำดับที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสองชุด ในขณะที่ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ที่แต่ละอินพุตมีเอาต์พุตไม่ซ้ำกัน
2. ความสัมพันธ์สามารถมีเอาต์พุตหลายรายการสำหรับอินพุตเดียว ในขณะที่ฟังก์ชันสามารถมีเอาต์พุตได้เพียงเอาต์พุตเดียวสำหรับอินพุตเดียว
3. การทดสอบเส้นแนวตั้งสามารถใช้เพื่อพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่

ความสัมพันธ์ vs ฟังก์ชั่น

ความสัมพันธ์คือชุดของคู่ที่เรียงลำดับ ในขณะที่ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ชนิดพิเศษที่แต่ละค่าอินพุต (หรือ "โดเมน") สอดคล้องกับค่าเอาต์พุต (หรือ "ช่วง") เพียงค่าเดียวเท่านั้น ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ชนิดพิเศษโดยที่ค่าอินพุตแต่ละค่าสอดคล้องกับค่าเอาต์พุตเพียงค่าเดียว

ในวิชาคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ถูกกำหนดให้เป็นการเชื่อมต่อระหว่างส่วนประกอบของชุดสองชุดขึ้นไป และนั่นไม่ควรว่างเปล่า สหภาพคาร์ทีเซียนของเซตย่อยให้ค่าความสัมพันธ์ R

สมมติเรามี 2 ชุด; หากมีความสัมพันธ์ระหว่างทั้งสองรายการตามด้วยชุดที่ไม่ใช่ ดังนั้นความสัมพันธ์เดียวจะถูกสร้างขึ้นระหว่างส่วนประกอบทั้งสอง

ฟังก์ชัน f: X→Y ภายในวิธีการเชิงโครงสร้างเป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีระหว่าง X และ Y ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบ Y หนึ่งรายการกับองค์ประกอบ X ทุก ๆ องค์ประกอบ

นั่นคือ f ถูกกำหนดให้เป็นชุด G ของคู่อันดับ (x, y) ที่มี x X, y Y และแต่ละองค์ประกอบของ X เป็นองค์ประกอบเริ่มต้นของคู่อันดับ 1 ภายใน G

ตารางเปรียบเทียบ

พารามิเตอร์ของการเปรียบเทียบ	ความสัมพันธ์	ฟังก์ชั่น
ความหมาย	ความสัมพันธ์สามารถอธิบายได้ว่าเป็นการเชื่อมต่อระหว่างค่าสองชุด หรือเป็นเพียงส่วนย่อยของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนทั้งคู่	ฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นความสัมพันธ์กับผลลัพธ์เดียวสำหรับแต่ละอินพุต
แสดงโดย	ตัวอักษร "R" มักใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์	ฟังก์ชันมักมีสัญลักษณ์เป็นตัวอักษร "F" หรือ "f"
ความสัมพันธ์	เราสรุปได้ว่าแต่ละความสัมพันธ์ไม่ใช่ฟังก์ชันจริงๆ	ในแง่คณิตศาสตร์ เราสามารถอ้างได้ว่าแต่ละฟังก์ชันมีความสัมพันธ์กัน
ประเภท	ความสัมพันธ์ประเภทต่างๆ ได้แก่ ความสัมพันธ์ว่างเปล่า ความสัมพันธ์สากล ความสัมพันธ์เอกลักษณ์ ความสัมพันธ์ผกผัน ความสัมพันธ์สะท้อนกลับ ความสัมพันธ์สมมาตร ความสัมพันธ์ถ่ายทอด และความสัมพันธ์สมมูล	ฟังก์ชันประเภทต่างๆ ได้แก่ ฟังก์ชันเอกลักษณ์ ฟังก์ชันคงที่ ฟังก์ชันพหุนาม และฟังก์ชันเหตุผล
ที่เชื่อมโยงกับ	แนวคิดทางทฤษฎีเกิดจากการใช้ความสัมพันธ์	ฟังก์ชันเชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียว

ความสัมพันธ์คืออะไร?

ความสัมพันธ์คือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงแนวคิดที่สร้างความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างส่วนประกอบของ 2 ชุด เป็นเวอร์ชันทั่วไปมากกว่าของแนวคิดที่ได้รับการยอมรับบ่อยกว่ามากเกี่ยวกับลัทธิระเบียบนิยมทางคณิตศาสตร์ แต่มีข้อจำกัดน้อยกว่า

ความสัมพันธ์ที่ขยายชุด X และ Y คือชุดของคู่อันดับ (x, y) ที่ประกอบด้วยส่วนประกอบ x ใน X และ y ใน Y

มันรวบรวมวิธีความสัมพันธ์มาตรฐาน: ส่วนประกอบ x เชื่อมต่อกับส่วนประกอบ y ก็ต่อเมื่อคู่ (x, y) สอดคล้องกับชุดโหนดภายใน โดยระบุความสัมพันธ์แบบไบนารี

ความสัมพันธ์แบบไบนารีใด ๆ นั้นได้รับการวิจัยมากที่สุด n = 2 ตัวอย่างพิเศษของความสัมพันธ์แบบ n-ary ในเซต X1,…, Xn ซึ่งจะเป็นส่วนย่อยของบางอย่าง เช่น ผลคูณของคาร์ทีเซียน X1… Xn

เซตของการจับคู่ทั้งหมดที่องค์ประกอบ x=y เป็นการเปรียบเทียบอย่างง่าย ๆ ของความสัมพันธ์แบบไบนารีที่ทอดจากเซต X ท่ามกลางทั้งหมด ตัวเลขจริง R และเซต Y รวมทั้งจำนวนจริงทั้งหมด R

ฟังก์ชั่นคืออะไร?

ฟังก์ชันใดๆ จากเซต X ดังกล่าวไปยังอีกเซต Y คือการจัดสรรส่วนประกอบ Y ให้กับแต่ละส่วนประกอบของ X เซต X นี้เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน ในขณะที่เซต Y เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน โคโดเมน.

ฟังก์ชันต่างๆ ถือเป็นอุดมคติว่าองค์ประกอบตัวแปรต้องอาศัยค่าอื่นๆ อย่างไร ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของดาวดูเหมือนจะเป็นฟังก์ชันของเวลา

ตามเนื้อผ้า กรอบ ได้รับการเสนออย่างดีด้วยแคลคูลัสขนาดเล็กในช่วงปลายทศวรรษที่ 1600 และฟังก์ชันที่ศึกษาก็แยกแยะได้จนถึงปลายศตวรรษที่ XNUMX 

แนวคิดของฟังก์ชันกลายเป็นประมวลในแนวคิดของทฤษฎีเซต ณ ปลายศตวรรษที่ XNUMX ซึ่งได้ขยายขอบข่ายของการบังคับใช้ของวิธีการอย่างมาก

กราฟของฟังก์ชันใดๆ คือชุดของการจับคู่ทั้งหมด (x, f (x)) ที่แสดงฟังก์ชันอย่างสม่ำเสมอ

เมื่อใดก็ตามที่โดเมนและโคโดเมนเป็นตัวแทนของชุดจำนวนจริง ทุกชุดสามารถถือว่าเป็นหนึ่งในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดภายในระนาบได้

ความแตกต่างหลักระหว่างความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

1. ความสัมพันธ์สามารถอธิบายได้ว่าเป็นการเชื่อมโยงระหว่างชุดค่าทั้งสองชุด อีกทางหนึ่ง มันเป็นเพียงเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียนทั้งสอง ในทางกลับกัน ฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นความสัมพันธ์กับผลลัพธ์เดียวเท่านั้นสำหรับแต่ละอินพุต
2. ตัวอักษร "R" มักใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ ในขณะที่ฟังก์ชันมักมีสัญลักษณ์เป็นตัวอักษร "F" หรือ "f"
3. เราสรุปได้ว่าแต่ละความสัมพันธ์ไม่ใช่ฟังก์ชันจริงๆ ในทางกลับกัน ในแง่คณิตศาสตร์ เราสามารถอ้างได้ว่าแต่ละฟังก์ชันมีความสัมพันธ์กัน
4. ความสัมพันธ์ประเภทต่างๆ ได้แก่ ความสัมพันธ์ที่ว่างเปล่า ความสัมพันธ์สากล ความสัมพันธ์อัตลักษณ์ ความสัมพันธ์ผกผัน ความสัมพันธ์แบบสะท้อน ความสัมพันธ์สมมาตร ความสัมพันธ์สกรรมกริยา และความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ในทางตรงกันข้าม ฟังก์ชันประเภทต่างๆ ได้แก่ ฟังก์ชันเอกลักษณ์ ฟังก์ชันคงที่ ฟังก์ชันพหุนาม และฟังก์ชันเหตุผล
5. แนวคิดทางทฤษฎีเกิดจากการใช้ความสัมพันธ์ ในขณะที่ฟังก์ชันเชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียว

อ้างอิง

1. https://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.15378?journalCode=ajp
2. https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-symbolic-logic/article/abs/gelfondmichael-and-lifschitzvladimir-the-stable-model-semantics-for-logic-programming-logic-programming-proceedings-of-the-fifth-international-conference-and-symposium-volume-2-edited-by-kowalskirobert-a-and-bowenkenneth-a-series-in-logic-programming-the-mit-press-cambridge-mass-and-london-1988-pp-10701080-finekit-the-justification-of-negation-as-failure-logic-methodology-and-philosophy-of-science-viii-proceedings-of-the-eighth-international-congress-of-logic-methodology-and-philosophy-of-science-moscow-1987-edited-by-fenstadjens-erik-frolovivan-t-and-hilpinenristo-studies-in-logic-and-the-foundations-of-mathematics-vol-126-north-holland-amsterdam-etc-1989-pp-263301/52AF3E8E306327B3CD6C5D13CF7D897C

อัพเดตล่าสุด : 11 มิถุนายน 2023