T 检验与 Z 检验：差异与比较

当总体标准差未知或处理小样本量时，t 检验用于比较样本均值，而当总体标准差已知且样本量足够大时，则适合使用 z 检验。

关键精华

1. T 检验用于在总体标准差未知时比较两组的均值，而 Z 检验用于总体标准差已知且样本量较大的情况。
2. T 检验依赖于 t 分布，它用于较小的样本量和未知的总体标准差，而 Z 检验使用标准正态分布。
3. 在实践中，由于已知总体标准差的稀有性，t 检验更为常见。同时，Z 检验保留用于样本量较大且总体参数已知的情况。

T 检验与 Z 检验

当总体均值和标准差已知时使用 Z 检验，它假设总体呈正态分布。 当总体标准偏差未知并且必须从 样品 数据。 这 t检验 假设样本呈正态分布。

T 检验最适合样本量有限的问题，而 Z 检验最适合样本量大的问题。

对比表

方面	T检验	Z检验
用例	当样本量较小 (<30) 或总体标准差未知时使用。	当样本量较大 (>30) 并且总体标准差已知时使用。
样本大小	适合小样本量。	适合大样本量。
公式	t = (x̄ – μ) / (s / √n)	z = (x̄ – μ) / (σ / √n)
人口参数	通常在总体参数（平均值和标准差）未知时使用。	通常在已知或估计总体参数（平均值和标准差）时使用。
自由程度	使用 n-1 自由度（其中 n 是样本大小）进行双样本 t 检验。	使用 n 个自由度进行单样本 z 检验。
方差假设	假设样本方差是总体方差的无偏估计量。	假设总体方差已知或可以从样本中合理估计。
配电系统	遵循 t 分布，与标准正态 (z) 分布相比，其尾部较重。	遵循标准正态 (z) 分布。
例如：	当样本量较小且总体标准差未知时，测试两个不同组的平均测试分数是否显着不同。	当样本量很大并且总体标准差已知时，测试总体的平均身高是否与已知值显着不同。
统计软件	通常使用 R、Python 或统计计算器等软件来执行。	通常使用 R、Python 或统计计算器等软件来执行。

什么是 T 检验？

t 检验是一种统计方法，用于比较两组的平均值并确定它们之间是否存在显着差异。当数据服从正态分布时，它通常用于假设检验。

T 检验的类型

1. 独立样本 T 检验：
   • 在比较两个独立组的平均值时使用。
   • 假设：各组数据服从正态分布，方差近似相等。
2. 配对样本 T 检验：
   • 适用于比较两个相关组的平均值，例如测量之前和之后。
   • 假设：配对观测值之间的差异呈正态分布。

T 检验中的假设

在 T 检验中，假设制定如下：

• 原假设 (H₀)： 假设组均值之间没有显着差异。
• 另类假设 (H₁)： 表明组均值之间存在显着差异。

解释

• 如果 p 值低于显着性水平（通常设置为 0.05），则拒绝零假设，表明存在显着差异。
• 相反，高于显着性水平的 p 值无法拒绝原假设。

什么是 Z 检验？

Z 检验是一种统计方法，用于确定样本平均值与总体平均值之间或两个独立样本的平均值之间是否存在显着差异。当处理大样本量并且总体标准差已知时，它特别有用。

Z 测试的类型

1. 单样本 Z 检验：
   • 目的： 评估是否 意味着 单个样本的平均值与已知总体平均值显着不同。
   • 分子式： Z = (X̄ – μ) / (σ / √n)，其中 X̄ 是样本均值，μ 是总体均值，σ 是总体标准差，n 是样本量。
2. 两个样本 Z 检验：
   • 目的： 比较两个独立样本的均值并确定它们之间是否存在显着差异。
   • 分子式： Z = (X̄₁ – X̄2) / √(σ₁²/n₁ + σ2²/n2)，其中 X̄₁ 和 X̄ׄ 是样本均值，σ₁ 和 σ2 是标准差，n₁ 和 n2 是样本大小。
3. 比例的 Z 检验：
   • 目的： 检查样本中分类变量的比例是否与已知总体比例显着不同。
   • 分子式： Z = (p̂ – p₀) / √(p₀(1 – p₀)/n)，其中 p̂ 是样本比例，p₀ 是总体比例，n 是样本大小。

使用 Z 检验进行假设检验

假设检验涉及建立原假设 (H₀) 和备择假设（H₁ 或 Ha）：

• 原假设 (H₀)： 假设没有显着差异或影响。
• 另类假设（H₁ 或 Ha）： 声称有显着差异或效果。

拒绝原假设的决定基于计算的 Z 统计量和选定的显着性水平 (α)。如果计算的 p 值小于 α，则拒绝零假设，表明统计显着性。

T 检验和 Z 检验之间的主要区别

1. 样本数量：
   • T 测试： 通常在样本量较小 (<30) 或总体标准差未知时使用。
   • Z 测试： 通常在样本量较大 (>30) 且总体标准差已知或可以准确估计时使用。
2. 总体标准差：
   • T 测试： 不需要了解总体标准差； 它可以从样本中估计出来。
   • Z 测试： 需要了解总体标准差或足够大的样本量才能从样本中估计它。
3. 分子式：
   • T 测试： T 检验的公式涉及样本平均值、样本标准差、样本大小以及（可选）总体平均值。
   • Z 测试： Z 检验的公式涉及样本均值、总体均值、总体标准差和样本量。
4. 自由程度：
   • T 测试： 对两样本 T 检验使用 (n – 1) 个自由度，对单样本 T 检验使用 (n – 1) 个自由度（其中 n 是样本大小）。
   • Z 测试： 使用 n 个自由度进行单样本 Z 检验。
5. 分布：
   • T 测试： 与标准正态 (z) 分布相比，遵循尾部较重的 t 分布。
   • Z 测试： 遵循标准正态 (z) 分布。
6. 方差假设：
   • T 测试： 假设样本方差是总体方差的无偏估计量。
   • Z 测试： 假设总体方差已知或可以从样本中合理估计。
7. 用例：
   • T 测试： 通常在样本量较小、总体标准差未知或比较样本量较小的两组的平均值时使用。
   • Z 测试： 通常在样本量较大、总体标准差已知时或者比较样本量较大的两组的平均值时使用。
8. 统计软件：
   • T 测试： 通常使用 R、Python 或统计计算器等统计软件来执行。
   • Z 测试： 通常也使用 R、Python 或统计计算器等统计软件来执行。

最后更新：25 年 2024 月 XNUMX 日