Dot Product vs Cross Product: Rozdíl a srovnání

Vektorová algebra je nedílnou součástí fyziky a matematiky. Zjednodušuje výpočty a pomáhá analyzovat širokou škálu prostorových konceptů.

S vektorem lze manipulovat pomocí dvou základních operací. Tyto operace jsou tečkové a křížové produkty s obrovskými rozdíly.

Key Takeaways

1. Matematická operace: Bodový součin vypočítává skalární součin dvou vektorů, zatímco křížový součin vypočítává vektorový součin.
2. Výsledek: Bodový součin poskytuje skalární množství, zatímco křížový součin vytváří vektor.
3. Ortogonalita: Bodový součin je nula, když jsou vektory ortogonální, zatímco křížový součin vede k vektoru kolmému k původním vektorům.

Dot Product versus Cross Product

Rozdíl mezi bodovým součinem a křížovým součinem dvou vektorů je v tom, že výsledkem je a skalární množství, zatímco vývoj křížového produktu je vektorová veličina.

Bodový součin dvou vektorů se také nazývá skalární součin. Je to součin velikosti těchto dvou vektorů a kosinu úhlu, který mezi sebou svírají.

Křížový součin dvou vektorů se také nazývá vektorový součin. Je to součin velikosti dvou vektorů a sinu úhlu, který mezi sebou svírají.

---

 

Srovnávací tabulka

Parametr Srovnání	Tečkovaný produkt	Křížový produkt
Obecná definice	Bodový součin je součin velikosti vektorů a cos úhlu mezi nimi.	Křížový součin je součin velikosti vektorů a sinusu úhlu, který na sebe svírají.
Matematický vztah	Bodový součin dvou vektorů A a B je reprezentován jako: Α.Β = ΑΒ cos θ	Křížový součin dvou vektorů A a B je definován jako Α × Β = ΑΒ sin θ
Výsledný	Výslednice bodového součinu vektorů je skalární veličina.	Výsledkem křížového součinu vektorů je vektorová veličina.
Ortogonalita vektorů	Bodový součin je nula, když jsou vektory ortogonální (θ = 90°).	Křížový součin je maximální, když jsou vektory ortogonální ( θ = 90°).
Komutativnost	Bodový součin dvou vektorů se řídí komutativním zákonem: A. B = B. A	Křížový součin dvou vektorů se neřídí komutativním zákonem: A × B ≠ B × A

---

 

Co je produkt Dot?

Bodový součin nebo skalární součin dvou vektorů je součin jejich velikostí a kosinusu úhlu svíraného jedním vektorem nad druhým.

Je reprezentován jako:

A·Β = |A| |B| cos θ

Výsledkem je skalární veličina, takže má pouze velikost, ale žádný směr.

K výpočtu bodového součinu vezmeme kosinus úhlu, aby se vektory zarovnaly stejným směrem. Tímto způsobem získáme projekci jednoho vektoru přes druhý.

Pro vektory s n rozměry je bodový součin dán vztahem:

A·Β = Σ α¡b¡

Bodový produkt má následující vlastnosti:

• Je komutativní.

Α· b = b·α

• Řídí se distribučním zákonem.

Α· ( b+c) = α·b + α·c

• Řídí se zákonem skalárního násobení.

( λα) · ( μb) = λμ ( α· b)

 

Co je to Cross Product?

Křížový součin nebo vektorový součin dvou vektorů je součin jejich velikostí a sinusu úhlu, který jeden nad druhým svírají.

Je reprezentován jako:

A×Β = |A| |B| hřích θ

Výsledkem je další vektorová veličina. Výsledný vektor je kolmý na oba vektory. Jeho směr lze určit pomocí pravidla pravé ruky.

Je třeba dodržovat následující pravidla nevadí při výpočtu křížového produktu:

• I × j = k
• J × k = i
• K × I = j

I, ja k jsou jednotkové vektory ve směru x, y, respektive z.

Křížový produkt má následující vlastnosti:

• Je antikomutativní.

a× b = – (b × α)

• Řídí se distribučním zákonem.

a × ( b+c) = α × b + α × c

• Řídí se zákonem skalárního násobení.

( λα) × (b) = λ ( α × b)

---

Hlavní rozdíly mezi dotovým a křížovým součinem

Bodový součin a křížový součin umožňují výpočty ve vektoru algebra. Mají různé aplikace a různé matematické vztahy.

Hlavní rozdíly mezi těmito dvěma jsou:

1. Pokud jsou dva vektory ortogonální, jejich bodový součin je nula, zatímco jejich křížový součin je maximální.
2. Bodový součin se řídí komutativním zákonem, zatímco křížový součin je antikomutativní.

---

Reference

1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
2. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf

Poslední aktualizace: 11. června 2023