संबंध बनाम कार्य: अंतर और तुलना

संबंध और कार्य अविभाज्य रूप से जुड़े हुए हैं। संबंधों और कार्यों के बीच भेदभाव करने में सक्षम होने के लिए, किसी को अवधारणाओं की गहन समझ होनी चाहिए।

इस पूरे लेख में, हम संबंधों और कार्यों के बीच अंतर करेंगे। एक फ़ंक्शन में एक संबंध की तरह समान रेंज मैपिंग हो सकती है, इसलिए इनपुट का एक संग्रह सटीक रूप से एक उपज से मेल खाता है।

चाबी छीन लेना

1. एक संबंध क्रमबद्ध युग्मों का एक सेट है जो दो सेटों के बीच संबंध दिखाता है, जबकि एक फ़ंक्शन एक ऐसा संबंध है जहां प्रत्येक इनपुट का एक अद्वितीय आउटपुट होता है।
2. एक रिलेशन में एक इनपुट के लिए कई आउटपुट हो सकते हैं, जबकि एक फ़ंक्शन में एक इनपुट के लिए केवल एक आउटपुट हो सकता है।
3. ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई संबंध एक फ़ंक्शन है या नहीं।

संबंध बनाम कार्य

एक संबंध क्रमबद्ध युग्मों का एक सेट है, जबकि एक फ़ंक्शन एक विशेष प्रकार का संबंध है जिसमें प्रत्येक इनपुट (या "डोमेन") मान बिल्कुल एक आउटपुट (या "रेंज") मान से मेल खाता है। एक फ़ंक्शन एक विशेष प्रकार का संबंध है जहां प्रत्येक इनपुट मान बिल्कुल एक आउटपुट मान से मेल खाता है।

गणित में, एक संबंध को दो या दो से अधिक सेटों के घटकों के बीच कनेक्टिविटी के रूप में परिभाषित किया गया है, और वह खाली नहीं होना चाहिए। उपसमुच्चय का कार्टेशियन संघ एक संबंध R उत्पन्न करता है।

मान लें कि हमारे पास 2 सेट हैं; यदि दोनों वस्तुओं के बीच एक संबंध है जिसके बाद एक गैर-समुच्चय है, तो दोनों घटकों के बीच एकमात्र संबंध निर्मित होता है।

संरचनात्मक विधि के अंदर एक फ़ंक्शन f: X→Y, X और Y के बीच एक द्विआधारी संबंध है जो प्रत्येक X घटक से एक Y घटक को जोड़ता है।

वह यह भी है कि, f को क्रमित युग्मों (x, y) के एक सेट G के रूप में निर्धारित किया जाता है जिसमें x

तुलना तालिका

तुलना के पैरामीटर	संबंध	कार्य
अर्थ	एक संबंध को मूल्यों के दो सेटों के बीच संबंध के रूप में वर्णित किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, यह दोनों कार्टेशियन उत्पाद का एक उपसमुच्चय मात्र है।	एक फ़ंक्शन को प्रत्येक इनपुट के लिए केवल एक ही परिणाम के साथ संबंध के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
द्वारा चिह्नित	"R" अक्षर का प्रयोग आमतौर पर किसी रिश्ते को दर्शाने के लिए किया जाता है।	किसी फ़ंक्शन को आमतौर पर "F" या "f" अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।
सह - संबंध	प्रत्येक संबंध, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं, वास्तव में एक कार्य नहीं है।	गणितीय शब्दों में, हम यह दावा कर सकते हैं कि प्रत्येक फ़ंक्शन एक संबंध भी है।
प्रकार	विभिन्न प्रकार के संबंधों में खाली संबंध, सार्वभौमिक संबंध, पहचान संबंध, व्युत्क्रम संबंध, प्रतिवर्ती संबंध, सममित संबंध, सकर्मक संबंध और समतुल्य संबंध शामिल हैं।	विभिन्न प्रकार के कार्यों में पहचान फ़ंक्शन, निरंतर फ़ंक्शन, बहुपद फ़ंक्शन और तर्कसंगत फ़ंक्शन शामिल हैं।
से जुड़ा हुआ	सैद्धांतिक धारणाएँ संबंधों के प्रयोग से बनती हैं।	एक फ़ंक्शन एक ही तत्व से जुड़ा होता है।

रिश्ते क्या हैं?

संबंध एक वैचारिक गणितीय मॉडल है जो 2 सेटों के घटकों के बीच कुछ संबंध स्थापित करता है। यह गणितीय औपचारिकता की अधिक बार-बार पहचानी जाने वाली अवधारणा का अधिक सामान्यीकृत संस्करण है लेकिन कम बाधाओं के साथ।

सेट X और Y में फैला एक संबंध क्रमित युग्मों (x, y) का एक संग्रह है जो X में घटकों x और Y में y से बना है।

यह मानक संबंध पद्धति का प्रतीक है: घटक x एक घटक y से जुड़ा होता है यदि और केवल तभी जब जोड़ी (x, y) बाइनरी संबंध को निर्दिष्ट करते हुए आंतरिक नोड-सेट के अनुरूप हो।

कोई भी द्विआधारी संबंध सेट X2,…, Xn में एन-एरी संबंध का अब तक का सबसे अधिक शोधित n = 1 विशेष उदाहरण है, जो कार्टेशियन उत्पादों X1… Xn जैसी किसी चीज़ का सबसेट होगा।

सभी युग्मों का सेट जिसके बारे में घटक x=y सभी के बीच सेट X को फैलाते हुए एक द्विआधारी संबंध का एक सरल सादृश्य है वास्तविक संख्याये आर और साथ ही सेट वाई जिसमें सभी वास्तविक संख्याएं आर शामिल हैं।

कार्य क्या हैं?

ऐसे सेट X से दूसरे सेट Y में कोई भी फ़ंक्शन, X के प्रत्येक घटक के लिए Y घटक का आवंटन है। इस सेट कोडोमेन.

फ़ंक्शंस इस बात का आदर्शीकरण है कि एक चर तत्व किसी अन्य मूल्य पर कैसे निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, किसी तारे का स्थान समय का एक कार्य प्रतीत होता है।

परंपरागत रूप से, ढांचा 1600 के दशक के अंत में इनफिनिटसिमल कैलकुलस के साथ अच्छी तरह से प्रस्तावित किया गया था, और जांच किए गए कार्य उन्नीसवीं सदी के अंत तक अलग-अलग थे। 

उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में एक फ़ंक्शन का विचार सेट सिद्धांत की अवधारणाओं में संहिताबद्ध हो गया, जिसने विधि की प्रयोज्यता के दायरे को काफी हद तक विस्तारित किया।

किसी भी फ़ंक्शन के ग्राफ़ सभी युग्मों (x, f (x)) का संग्रह होते हैं जो लगातार एक फ़ंक्शन को व्यक्त करते हैं।

जब भी डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्या सेट का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो प्रत्येक संयोजन को विमानों के भीतर एक बिंदु के कार्टेशियन समन्वय प्रणालियों में से एक के रूप में माना जा सकता है।

संबंधों और कार्यों के बीच मुख्य अंतर

1. एक संबंध को मूल्यों के दो सेटों के बीच संबंध के रूप में वर्णित किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, यह दोनों कार्टेशियन उत्पाद का एक उपसमुच्चय मात्र है। दूसरी ओर, एक फ़ंक्शन को प्रत्येक इनपुट के लिए केवल एक ही परिणाम के साथ एक संबंध के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
2. "R" अक्षर का प्रयोग आमतौर पर किसी रिश्ते को दर्शाने के लिए किया जाता है। जबकि किसी फ़ंक्शन को आमतौर पर "F" या "f" अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।
3. प्रत्येक संबंध, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं, वास्तव में एक कार्य नहीं है। दूसरी ओर, गणितीय शब्दों में, हम यह दावा कर सकते हैं कि प्रत्येक फ़ंक्शन एक संबंध भी है।
4. विभिन्न प्रकार के संबंधों में खाली संबंध, सार्वभौमिक संबंध, पहचान संबंध, व्युत्क्रम संबंध, प्रतिवर्ती संबंध, सममित संबंध, सकर्मक संबंध और समतुल्य संबंध शामिल हैं। इसके विपरीत, विभिन्न प्रकार के कार्यों में पहचान फ़ंक्शन, निरंतर फ़ंक्शन, बहुपद फ़ंक्शन और तर्कसंगत फ़ंक्शन शामिल हैं।
5. सैद्धांतिक धारणाएँ संबंधों के प्रयोग से बनती हैं। जबकि एक फ़ंक्शन एक ही तत्व से जुड़ा होता है।

संदर्भ

1. https://aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.15378?journalCode=ajp
2. https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-symbolic-logic/article/abs/gelfondmichael-and-lifschitzvladimir-the-stable-model-semantics-for-logic-programming-logic-programming-proceedings-of-the-fifth-international-conference-and-symposium-volume-2-edited-by-kowalskirobert-a-and-bowenkenneth-a-series-in-logic-programming-the-mit-press-cambridge-mass-and-london-1988-pp-10701080-finekit-the-justification-of-negation-as-failure-logic-methodology-and-philosophy-of-science-viii-proceedings-of-the-eighth-international-congress-of-logic-methodology-and-philosophy-of-science-moscow-1987-edited-by-fenstadjens-erik-frolovivan-t-and-hilpinenristo-studies-in-logic-and-the-foundations-of-mathematics-vol-126-north-holland-amsterdam-etc-1989-pp-263301/52AF3E8E306327B3CD6C5D13CF7D897C

अंतिम अद्यतन: 11 जून, 2023