As sequências aritméticas envolvem uma diferença constante entre termos consecutivos, enquanto as sequências geométricas envolvem uma razão constante entre termos consecutivos.
Principais lições
- A sequência aritmética é uma sequência em que cada termo é obtido pela adição de uma constante ao termo anterior.
- A sequência geométrica é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando uma constante pelo termo anterior.
- A sequência aritmética é usada para modelar relações lineares, enquanto a sequência geométrica é usada para modelar relações exponenciais.
Sequência Aritmética vs Sequência Geométrica
A variação entre os membros de uma sequência aritmética é linear, enquanto a variação nos elementos da sequência geométrica é exponencial. A sequência aritmética infinita diverge; por outro lado, infinitas sequências geométricas convergem ou divergem, dependendo da situação.
A diferença entre dois termos consecutivos em uma sequência aritmética é comum. Por outro lado, a razão de dois termos consecutivos em uma sequência geométrica é chamada de razão padrão.
Tabela de comparação
| Característica | Sequência aritmética | Sequência Geométrica |
|---|---|---|
| Definição | Uma sequência onde cada termo é obtido adicionando um valor constante (diferença comum) ao termo anterior. | Uma sequência onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um valor constante (razão comum). |
| Fórmula | a_n = a_1 + d(n-1) | a_n = a_1 * r^(n-1) |
| Característica Chave | Diferença constante entre os termos. | Razão constante entre termos. |
| Comportamento | Os termos aumentam ou diminuem em um valor constante. | Os termos aumentam ou diminuem exponencialmente. |
| Soma dos primeiros n termos | S_n = n/2 * (a_1 + a_n) | S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r) |
| Exemplos | 2, 5, 8, 11, 14,… | 2, 6, 18, 54, 162,… |
| Aplicações | Cálculos financeiros, crescimento populacional, física (queda de objetos), teoria musical | Juros compostos, decaimento exponencial, crescimento populacional, formas geométricas |
O que é Sequência Aritmética?
Uma sequência aritmética é uma sequência de números onde cada termo é obtido adicionando um valor constante (Chamou o diferença comum) ao termo anterior. É um tipo de sequência específico com comportamento previsível e aplicações em vários campos.
Aqui está uma análise de suas principais características:
Definição:
- Uma lista ordenada de números onde cada termo é obtido por adicionando o mesmo número (diferença comum) ao termo anterior.
Fórmula:
- a_n = a_1 + d(n-1)
- a_n: enésimo termo da sequência.
- a_1: primeiro termo da sequência.
- d: diferença comum.
- n: posição do termo na sequência.
Característica principal:
- Diferença comum constante: Cada termo difere do termo anterior pelo mesmo valor constante, determinando a progressão da sequência.
comportamento:
- Progressão linear: Os termos Aumentar ou diminuir por um valor constante (d).
- Padrão previsível: Devido à diferença constante, os termos da sequência são facilmente previsíveis e podem ser calculados através da fórmula.
Soma dos primeiros n termos:
- S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
- S_n: soma dos primeiros n termos.
- n: número de termos.
- a_1: primeiro termo.
- a_n: enésimo termo.
Exemplos:
- 2, 5, 8, 11, 14,… (diferença comum de 3)
- -10, -7, -4, -1, 2,… (diferença comum de 3)
- 3, 7, 11, 15, 19,… (diferença comum de 4)
Aplicações:
- Finanças: Cálculo de juros compostos, pagamentos de empréstimos e valores futuros.
- Física: Analisando objetos em queda, movimento de projéteis e movimento harmônico simples.
- Teoria da música: Compreender intervalos e escalas.
- Crescimento populacional: Modelagem do crescimento populacional linear ao longo do tempo.
O que é uma Sequência Geométrica?
Uma sequência geométrica é uma sequência de números onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um valor constante (Chamou o proporção comum). É um tipo de sequência específico com características e aplicações distintas em diversos campos.
Aqui está uma análise de seus principais recursos:
Definição:
- Uma lista ordenada de números onde o a relação entre os termos é baseada na multiplicação constante.
- Cada termo é obtido por multiplicando o termo anterior por um número fixo (proporção comum).
Fórmula:
- a_n = a_1 * r^(n-1)
- a_n: enésimo termo da sequência.
- a_1: primeiro termo da sequência.
- r: razão comum.
- n: posição do termo na sequência.
Característica principal:
- Razão comum constante: A sequência progride multiplicando cada termo pelo mesmo valor constante (r), determinando seu crescimento ou decaimento.
comportamento:
- Crescimento ou decadência exponencial: Dependendo do valor da razão comum, os termos da sequência podem aumentar ou diminuir exponencialmente.
- Mudança rápida: Em comparação com as sequências aritméticas, as sequências geométricas experimentam taxas de mudança mais rápidas à medida que a sequência avança.
Convergência ou divergência:
- Uma sequência geométrica converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1.
- Diverge se o valor absoluto da razão comum for maior ou igual a 1.
Soma dos primeiros n termos:
- S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
- S_n: soma dos primeiros n termos.
- n: número de termos.
- a_1: primeiro termo.
- r: razão comum.
Exemplos:
- 2, 6, 18, 54, 162,… (proporção comum de 3)
- 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … (common ratio of 1/2)
- -3, 9, -27, 81, -243,… (proporção comum de -3)
Aplicações:
- Finanças: Cálculo de juros compostos, modelos de crescimento exponencial e depreciação.
- Ciência: Modelagem de decaimento radioativo, crescimento populacional com recursos limitados e formas geométricas.
- Teoria da música: Compreender intervalos e logaritmos relacionados ao tom.
- Criptografia: Implementação de algoritmos de criptografia baseados em aritmética modular.
Principais diferenças entre sequência aritmética e geométrica
- Padrão de Progressão:
- Sequência Aritmética: Cada termo em uma sequência aritmética é obtido adicionando uma constante fixa (chamada de “diferença comum”) ao termo anterior, resultando em uma progressão linear.
- Sequência Geométrica: Cada termo em uma sequência geométrica é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante fixa (chamada de “razão comum”), resultando em uma progressão exponencial.
- Fórmula:
- Sequência Aritmética: A fórmula geral para uma sequência aritmética é an = a1 + (n – 1) * d, onde an representa o enésimo termo, a1 é o primeiro termo e d é a diferença comum.
- Sequência Geométrica: A fórmula geral para uma sequência geométrica é an = a1 * r^(n – 1), onde an representa o enésimo termo, a1 é o primeiro termo e r é a razão comum.
- Taxa de Mudança:
- Sequência Aritmética: A taxa de variação entre termos consecutivos é constante e igual à diferença comum (d).
- Sequência Geométrica: A taxa de variação entre termos consecutivos é constante e igual à razão comum (r).
- Exemplo de progressão:
- Sequência Aritmética: Um exemplo de sequência aritmética é 2, 4, 6, 8, 10,…, onde a diferença comum (d) é 2.
- Sequência Geométrica: Um exemplo de sequência geométrica é 3, 6, 12, 24, 48,…, onde a razão comum (r) é 2.
- Natureza dos Termos:
- Sequência Aritmética: Os termos em uma sequência aritmética representam quantidades que aumentam ou diminuem em um valor fixo com cada termo.
- Sequência geométrica: os termos em uma sequência geométrica representam quantidades que aumentam ou diminuem em uma proporção fixa com cada termo.
- Soma dos Termos:
- Sequência Aritmética: A soma dos primeiros n termos de uma sequência aritmética pode ser calculada usando a fórmula Sn = (n/2) * [2 * a1 + (n – 1) * d], onde Sn é a soma, n é o número de termos, a1 é o primeiro termo e d é a diferença comum.
- Sequência Geométrica: A soma dos primeiros n termos de uma sequência geométrica pode ser calculada usando a fórmula Sn = (a1 * (1 – r^n)) / (1 – r), onde Sn é a soma, n é o número de termos, a1 é o primeiro termo er é a razão comum.
Última atualização: 11 de dezembro de 2023
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Emma Smith possui mestrado em inglês pela Irvine Valley College. Ela é jornalista desde 2002, escrevendo artigos sobre a língua inglesa, esportes e direito. Leia mais sobre mim nela página bio.
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