Векторная алгебра является неотъемлемой частью физики и математики. Это упрощает расчеты и помогает анализировать широкий спектр пространственных концепций.
Вектором можно управлять с помощью двух основных операций. Эти операции представляют собой точечные и перекрестные произведения с огромными различиями.
Основные выводы
- Математическая операция: скалярное произведение вычисляет скалярное произведение двух векторов, а перекрестное произведение вычисляет векторное произведение.
- Результат: Скалярное произведение дает скалярную величину, а перекрестное произведение дает вектор.
- Ортогональность: скалярное произведение равно нулю, когда векторы ортогональны, в то время как перекрестное произведение приводит к вектору, перпендикулярному исходным векторам.
Скалярный продукт против перекрестного продукта
Разница между скалярным произведением и перекрестным произведением двух векторов заключается в том, что результатом является скаляр количество, тогда как развитие векторного произведения является векторной величиной.
Скалярное произведение двух векторов также называется скалярным произведением. Это произведение величины двух векторов и косинуса угла, который они образуют друг с другом.
Перекрестное произведение двух векторов также называется векторным произведением. Это произведение величины двух векторов и синуса угла, который они образуют друг с другом.
Сравнительная таблица
| Параметр сравнения | Скалярное произведение | Перекрестный продукт |
|---|---|---|
| Общее определение | Скалярное произведение — это произведение величины векторов и cos угла между ними. | Перекрестное произведение — это произведение величины векторов и синуса угла, на который они опираются друг на друга. |
| Математическая связь | Скалярное произведение двух векторов A и B представлено как: Α.B = ΑB cos θ | Векторное произведение двух векторов A и B определяется как Α × Β = ΑB sin θ |
| равнодействующая | Результат скалярного произведения векторов является скалярной величиной. | Результат перекрестного произведения векторов является векторной величиной. |
| Ортогональность векторов | Скалярное произведение равно нулю, когда векторы ортогональны ( θ = 90 °). | Перекрестное произведение максимально, когда векторы ортогональны ( θ = 90 °). |
| Перестановочность | Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону: A. B = B. A | Перекрестное произведение двух векторов не подчиняется коммутативному закону: A × B ≠ B × A. |
Что такое скалярный продукт?
Скалярное произведение или скалярное произведение двух векторов — это произведение их величин и косинуса угла, стягиваемого одним вектором над другим.
Он представлен как:
А·В = |А| |Б| потому что θ
Результатом является скалярная величина, поэтому она имеет только величину, но не направление.
Мы берем косинус угла, чтобы вычислить скалярное произведение, чтобы векторы выровнялись в одном направлении. Таким образом, мы получаем проекцию одного вектора на другой.
Для векторов с n измерениями скалярное произведение определяется как:
А·В = Σ α¡b¡
Скалярный продукт обладает следующими свойствами:
- Это коммутативно.
А· b = b·α
- Оно следует дистрибутивному закону.
Α· (b+c) = α·b + α·c
- Он следует скалярному закону умножения.
( λα) · ( µb) = λµ ( α· b)
Что такое перекрестный продукт?
Перекрестное произведение или векторное произведение двух векторов — это произведение их величин и синуса угла, стягиваемого одним над другим.
Он представлен как:
А×В = |А| |Б| грех θ
Результатом является другая векторная величина. Результирующий вектор перпендикулярен обоим векторам. Его направление можно определить с помощью правила правой руки.
Необходимо соблюдать следующие правила против при вычислении перекрестного произведения:
- я × j = к
- Дж × к = я
- К × я = j
I, j и k — единичные векторы в направлениях x, y и z соответственно.
Перекрестное произведение обладает следующими свойствами:
- Это антикоммутативный.
а × б = – (б × α)
- Оно следует дистрибутивному закону.
а × ( б + с) = α × б + α × с
- Он следует скалярному закону умножения.
( λα) × ( b) = λ ( α × b)
Основные различия между скалярным продуктом и перекрестным продуктом
Скалярный продукт и перекрестный продукт позволяют выполнять вычисления в векторе. алгебра. У них разные приложения и разные математические отношения.
Основные различия между ними:
- Если два вектора ортогональны, их скалярное произведение равно нулю, тогда как их векторное произведение максимально.
- Скалярное произведение следует коммутативному закону, тогда как перекрестное произведение является антикоммутативным.
- https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
- https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
Я приложил столько усилий, чтобы написать этот пост в блоге, чтобы предоставить вам ценность. Это будет очень полезно для меня, если вы подумаете о том, чтобы поделиться им в социальных сетях или со своими друзьями/родными. ДЕЛИТЬСЯ ♥️