الجبر المتجه جزء لا يتجزأ من الفيزياء والرياضيات. يبسط العمليات الحسابية ويساعد في تحليل مجموعة واسعة من المفاهيم المكانية.
يمكن معالجة المتجه باستخدام عمليتين أساسيتين. هذه العمليات هي النواتج النقطية والمتقاطعة ، مع وجود اختلافات شاسعة.
الوجبات السريعة الرئيسية
- العملية الحسابية: يحسب حاصل الضرب النقطي الناتج القياسي لمتجهين ، بينما يحسب الضرب التبادلي حاصل الضرب المتجه.
- النتيجة: ينتج عن المنتج النقطي كمية قياسية ، بينما ينتج عن المنتج العرضي متجه.
- التعامد: يكون المنتج النقطي صفرًا عندما تكون المتجهات متعامدة ، بينما ينتج عن الضرب المتقاطع متجهًا عموديًا على المتجهات الأصلية.
المنتج النقطي مقابل المنتج المتقاطع
الفرق بين حاصل الضرب القياسي وحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين هو أن النتيجة هي أ العددية الكمية ، في حين أن تطوير المنتج العرضي هو كمية متجهة.
حاصل الضرب النقطي لمتجهين يسمى أيضًا حاصل الضرب القياسي. إنه حاصل ضرب مقدار المتجهين وجيب الزاوية التي يشكلانها مع بعضهما البعض.
يُطلق أيضًا على حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين اسم المنتج المتجه. إنه حاصل ضرب مقدار المتجهين وجيب الزاوية التي يشكلانها مع بعضهما البعض.
جدول المقارنة
| معلمة المقارنة | المنتج نقطة | المنتوج الوسيط |
|---|---|---|
| تعريف عام | حاصل الضرب النقطي هو حاصل ضرب حجم المتجهات وجيب الزاوية بينهما. | حاصل الضرب الاتجاهي هو حاصل ضرب حجم المتجهات وجيب الزاوية التي يرمز إليها كل منهما على الآخر. |
| العلاقة الرياضية | يتم تمثيل حاصل الضرب القياسي للمتجهين A و B على النحو التالي: Α.Β = ΑΒ cos θ | يتم تعريف حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين A و B على أنه Α × Β = ΑΒ sin θ |
| المحصلة | ناتج حاصل الضرب النقطي للمتجهات هو كمية قياسية. | ناتج حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات هو كمية متجهة. |
| تعامد النواقل | يكون حاصل الضرب النقطي صفرًا عندما تكون المتجهات متعامدة (θ = 90 درجة). | يكون الضرب العرضي هو الحد الأقصى عندما تكون المتجهات متعامدة (θ = 90 درجة). |
| التبادلية | حاصل الضرب القياسي لمتجهين يتبع القانون التبادلي: أ ب = ب أ | حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين لا يتبع القانون التبادلي: A × B ≠ B × A |
ما هو المنتج النقطي؟
حاصل الضرب النقطي أو الناتج القياسي لمتجهين هو حاصل ضرب مقاديرهما وجيب التمام للزاوية التي يقابلها متجه على الآخر.
يتم تمثيلها على النحو التالي:
أ · Β = | أ | | ب | كوس θ
والنتيجة هي كمية عددية ، لذلك لها حجم فقط ولكن بلا اتجاه.
نأخذ جيب التمام للزاوية لحساب حاصل الضرب القياسي بحيث يصطف المتجهان في نفس الاتجاه. بهذه الطريقة نحصل على إسقاط متجه على الآخر.
بالنسبة للمتجهات ذات الأبعاد n ، يتم إعطاء حاصل الضرب النقطي بواسطة:
أ · Β = Σ α¡b¡
المنتج النقطي له الخصائص التالية:
- إنه تبادلي.
Α · ب = ب · α
- يتبع قانون التوزيع.
Α · (ب + ج) = α · ب + α · ج
- يتبع قانون الضرب العددي.
(λα) · (μb) = μ (α · b)
ما هو المنتج المتقاطع؟
حاصل الضرب الاتجاهي أو حاصل الضرب المتجه لمتجهين هو حاصل ضرب مقاديرهما وجيب الزاوية التي يقابلها أحدهما على الآخر.
يتم تمثيلها على النحو التالي:
أ × Β = | أ | | ب | الخطيئة θ
والنتيجة كمية متجهة أخرى. المتجه الناتج عمودي على كلا المتجهين. يمكن تحديد اتجاهه باستخدام قاعدة اليد اليمنى.
يجب الاحتفاظ بالقواعد التالية مانع أثناء حساب المنتج التبادلي:
- أنا × ي = ك
- ي × ك = أنا
- ك × أنا = ي
I و j و k هي متجهات الوحدة في اتجاه x و y و z على التوالي.
المنتج التبادلي له الخصائص التالية:
- إنه مضاد للتبادل.
أ × ب = - (ب × α)
- يتبع قانون التوزيع.
أ × (ب + ج) = α × ب + α × ج
- يتبع قانون الضرب العددي.
(λα) × (ب) = λ (α × ب)
الاختلافات الرئيسية بين المنتج النقطي والمنتج المتقاطع
حاصل الضرب النقطي والحاصل الضرب التبادلي يسمحان بالحسابات في المتجه علم الجبر. لديهم تطبيقات مختلفة وعلاقات رياضية مختلفة.
الاختلافات الرئيسية بين الاثنين هي:
- إذا كان المتجهان متعامدين ، فإن حاصل الضرب النقطي لهما يساوي صفرًا ، بينما يكون حاصل الضرب الاتجاهي هو الحد الأقصى.
- يتبع حاصل الضرب النقطي قانون التبديل ، في حين أن حاصل الضرب التبادلي هو مضاد للتبديل.
- https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
- https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
آخر تحديث: 11 يونيو 2023
لقد بذلت الكثير من الجهد في كتابة منشور المدونة هذا لتقديم قيمة لك. سيكون مفيدًا جدًا بالنسبة لي ، إذا كنت تفكر في مشاركته على وسائل التواصل الاجتماعي أو مع أصدقائك / عائلتك. المشاركة هي ♥ ️
إيما سميث حاصلة على درجة الماجستير في اللغة الإنجليزية من كلية إيرفاين فالي. تعمل كصحفية منذ عام 2002 وتكتب مقالات عن اللغة الإنجليزية والرياضة والقانون. اقرأ المزيد عنها صفحة بيو.
يعد جدول المقارنة الموجود في المقالة مفيدًا بشكل لا يصدق، مما يجعل من السهل فهم الاختلافات بين عمليتي المتجهات وتطبيقاتهما.
اتفق معك تماما. يلخص جدول المقارنة هذا الاختلافات الرئيسية بشكل موجز وفعال، وهو أمر ضروري لتعلم الطلاب.
تم توضيح الاختلافات بين المنتجات النقطية والمتقاطعة بشكل واضح في هذه المقالة، مما يوفر تجربة تعليمية كبيرة لأي شخص مهتم بالجبر المتجه.
قطعاً! تعمل المقالة كمحفز للمعرفة، مما يسمح للأفراد بفهم تعقيدات الجبر المتجه بسلاسة.
إن تغطية المقالة الشاملة للمنتجات النقطية والتقاطعية تلقي الضوء حقًا على طبيعتها واستخداماتها المتميزة، مما يوفر للقراء فهمًا أعمق لكلا المفهومين.
قطعاً! إن عمق المعرفة المقدمة هنا رائع، ومن المهم لأي شخص مهتم بالجبر المتجه أن يستوعب هذه المعلومات القيمة.
إن التفسيرات المقدمة لمنتجات النقطة والتقاطع واضحة تمامًا وثاقبة. ومن المفيد أن نفهم كيفية عمل هذه العمليات وأهميتها في العالم الحقيقي.
لقد كان استخدام المتجهات في الدراسات الرياضية والفيزيائية موضوعًا مثيرًا للاهتمام دائمًا. توفر هذه المقالة مقارنة جيدة التنظيم بين المنتجات النقطية والمتقاطعة، مما يسهل فهمها.
بالتأكيد، الشرح التفصيلي لحواصل الضرب النقطية والتقاطعية هنا رائع، ويساعد في اكتساب فهم أعمق للجبر المتجه.
توضح المقالة بشكل فعال الجوانب المميزة لحواصل الضرب النقطية والتقاطعية، مما يضع أساسًا متينًا لأولئك الذين يتعمقون في عالم المتجهات.
بالتأكيد، توفر هذه المقالة فهمًا قويًا لعمليات المتجهات هذه، كما أن وضوح الشرح يستحق الثناء.
يوفر الجبر المتجه طريقة ممتازة لحل المشكلات الرياضية والفيزيائية. تعتبر هذه المنتجات النقطية والمتقاطعة أساسية للطلاب لفهمها وتطبيقها.
أنا أتفق معك. توفر دقة ووضوح الجبر المتجه رؤى عظيمة. أعتقد أن تعلم المتجهات يجب أن يكون أولوية في الرياضيات والفيزياء.
تقوم هذه المقالة بعمل ممتاز في تسليط الضوء على أهمية فهم الجبر المتجه. يمكن للطلاب والباحثين الاستفادة كثيرًا من المعرفة المقدمة هنا.
إن وضوح وتماسك التفسيرات الواردة في هذه المقالة يجعلها مصدرا قيما للطلاب والمهنيين على حد سواء. يمكن أن يؤدي فهم هذه العمليات إلى مهارات أكثر كفاءة في حل المشكلات.
وأنا أتفق تماما. الطبيعة الواضحة للمحتوى هنا تخلق تجربة تعليمية بناءة، وهو أمر أساسي للأفراد الذين يتطلعون إلى توسيع معرفتهم الرياضية والبدنية.
تقوم هذه المقالة بعمل رائع في توضيح خصائص الضرب النقطي والتقاطعي، مما يجعل الجبر المتجه موضوعًا أكثر سهولة للطلاب والمتحمسين.
لا يمكن اقبل المزيد. لا يمكن المبالغة في أهمية فهم هذه الخصائص، وأعتقد أن هذه المقالة تحقق هذا الهدف بفعالية.