Differenzial vs. Ableitung: Differenz und Vergleich

Ableitungen sind in Differentialgleichungen enthalten. Sie stellen die Änderungsrate der Variablen dar. Wenn sich die unabhängige Variable ändert, muss die entsprechende Änderung der abhängigen Variablen notiert werden.

Ableitungen weisen auf diese Änderungsrate hin, indem sie die Steigung der Funktion in einem Diagramm untersuchen.  

Key Take Away

1. Die Ableitung ist ein mathematisches Konzept, das die momentane Änderungsrate einer Funktion beschreibt; Das Differential ist ein mathematischer Operator, der verwendet wird, um die Änderungsrate einer Variablen in Bezug auf eine andere Variable auszudrücken.
2. Die Ableitung wird als Grenze des Verhältnisses der Änderung der Funktion zur Änderung der unabhängigen Variablen dargestellt, wenn sich die Änderung der unabhängigen Variablen Null nähert; das Differential wird als Produkt der Ableitung und der Änderung der unabhängigen Variablen ausgedrückt.
3. Die Ableitung wird verwendet, um Steigungen und Änderungsraten im Kalkül zu bestimmen; Das Differential wird verwendet, um Differentialgleichungen zu lösen und die Beziehung zwischen Variablen in Physik und Technik auszudrücken.

Differenzial vs. Ableitung

Der Unterschied zwischen einem Differential und einer Ableitung besteht in der jeweils ausgeführten Funktion und den jeweils dargestellten Werten. Differentiale stellen die kleinsten Unterschiede in variablen Größen dar, beispielsweise der Fläche eines Körpers. Es ermöglicht die Berechnung der Beziehung zwischen den unabhängigen und abhängigen Variablen in der Gleichung.

Vergleichstabelle

Vergleichsparameter	Differentiale	Derivate
Definition	Differenzen stellen die kleinsten Unterschiede in variablen Größen dar.	Ableitungen stellen die Änderungsrate der Variablen in einer Differentialgleichung dar.
Differenz berechnet	Die lineare Differenz wird berechnet.	Die Steigung des Graphen an einem bestimmten Punkt wird berechnet.
Beziehung	Differentialgleichungen verwenden Ableitungen, um zu endgültigen Lösungen zu kommen. Ableitungen sind in Differentialgleichungen enthalten.	Derivate bedeuten einfach die Änderungsrate der abhängigen Variablen gegenüber der unabhängigen Variablen.
Funktionale Konnotationen	Funktionale Konnotationen zwischen Variablen sind unbekannt	Funktionale Konnotationen zwischen Variablen sind bekannt.
Vertreten durch	Viele Formeln stellen Differentialgleichungen dar. Eines der am häufigsten verwendeten ist: dy/dx = f(x)	Es gibt verschiedene Ableitungsgrade mit unterschiedlichen Darstellungsformeln. Die am häufigsten verwendete formelhafte Darstellung eines Derivats ist: d/dx.

Was ist ein Differential?

Als Untergebiet von Infinitesimalrechnung, Differentialgleichungen stellen den winzigen Unterschied in bestimmten schwankenden Größen dar. Differentialgleichungen enthalten Ableitungen und ihre Funktionen.

Differentiale messen die lineare Änderungskurve der abhängigen Variablen als Folge der Änderung der Größe der unabhängigen Variablen. Es gibt verschiedene Arten von Differentialgleichungen mit unterschiedlichen Ordnungen und Graden mathematischer Komplexität.

Differentialgleichungen beschreiben die Bewegung von Wärme Wellen, die Veränderung der Bevölkerungszahl, der Zerfall von radioaktivem Material, elektrische Bewegung, die Bewegung eines Pendels usw.

Im Wesentlichen bezeichnen Differentialgleichungen die Beziehung zwischen zwei Variablen, wobei die Änderung einer Variablen durch die Änderung der anderen ausgelöst wird.

Es ist das methodische Werkzeug zur Berechnung der Ableitungen von Funktionen. Es handelt sich also um eine symbolische Gleichung. Differentialgleichungen werden dargestellt als:

db/dy ​​= f(a)

Wobei b die abhängige und die unabhängige Variable ist.

Was ist ein Derivat?

Im einfachsten Sinne beziehen sich Derivate auf die Änderungsrate von Variablen, wenn eine Änderung in der unabhängigen Variablen aufgezeichnet wird und eine entsprechende Änderung in der abhängigen Variablen erzeugt wird. Daher wird die Änderung der Ausgabe aufgrund einer Änderung des Eingabewerts hervorgehoben.

Ableitungen werden am häufigsten bei Differentialgleichungen verwendet. Differenzierung ist der Prozess zum Finden von Derivaten. Sie werden verwendet, um die Steigung einer Tangente anzugeben. Innerhalb eines bestimmten Zeitraums messen Ableitungen die Steilheit der Steigung einer Funktion.

Wie Differentiale können auch Derivate in erste und zweite Ordnung eingeteilt werden. Während Ersteres direkt aus der Steigung der Linie vorhergesagt werden kann, berücksichtigt Letzteres die Konkavität des Diagramms.

Sie sind ein wichtiger Bestandteil mathematischer Berechnungen. Oft wird die Steigung dargestellt als:

d/dx

Beispielsweise ist eine Ableitung definiert als die Änderungsrate von b bezüglich a. Diese Beziehung wird ausgedrückt als b= f(a), wobei b eine Funktion von a ist. Der Wert dieser Funktion erzeugt die Steigung von f(a).

Wissenschaftliche Forscher verwenden Ableitungen in Differentialgleichungen, um die Änderungen im Wert von Variablen zu messen und das Verhalten sich ändernder Systeme prägnant vorherzusagen.

Hauptunterschiede zwischen Differentialen und Derivaten

1. Der Hauptunterschied zwischen Differentialen und Ableitungen besteht in ihren Definitionen, die sich auf ihre Funktionalität im mathematischen Bereich auswirken. Ersteres ist ein Teilbereich der Analysis, der den infinitesimalen Unterschied in einer schwankenden Größe bezeichnet. Unter Ableitungen versteht man jedoch die Änderung des Ausgangswerts aufgrund einer entsprechenden Änderung des Eingangswerts. Es bezeichnet die Geschwindigkeit dieser Änderung.
2. Differentialgleichungen enthalten Ableitungen oder Funktionen von Ableitungen. Gleichzeitig beziehen sich Ableitungen auf die sofortige Änderung, die bei der Änderung der unabhängigen Variablen auftritt und eine entsprechende Änderung des Werts der abhängigen Variablen hervorruft.
3. Die funktionale Konnotation zwischen den abhängigen und unabhängigen Variablen ist im Fall einer Ableitung bekannt und im Fall eines Differentials unbekannt. Dies stellt einen weiteren wichtigen Unterschied zwischen den beiden mathematischen Konzepten dar.
4. Auch die Formeln von Differential- und Ableitungsgleichungen unterscheiden sich deutlich. dy/dx = f(x) stellt ersteres dar, wobei y die abhängige und x die unabhängige Variable ist. Derivate werden durch d/dx dargestellt.
5. Differentiale stellen die reale Wertänderung durch eine lineare Karte dar, während Ableitungen dieselbe Änderung durch eine Steigungskarte darstellen. Ableitungen berechnen die Steigung einer Funktion im Diagramm zu einem beliebigen Zeitpunkt.

Bibliographie

1. https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8579172/
2. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/074683410X480195

Letzte Aktualisierung: 11. Juni 2023