Barisan Aritmatika vs Geometrik: Perbedaan dan Perbandingan

Barisan aritmatika melibatkan perbedaan yang konstan antara suku-suku yang berurutan, sedangkan barisan geometri melibatkan perbandingan yang konstan antara suku-suku yang berurutan.

Pengambilan Kunci

1. Barisan aritmatika adalah barisan yang setiap sukunya diperoleh dengan menambahkan konstanta pada suku sebelumnya.
2. Barisan geometri adalah barisan yang setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu konstanta dengan suku sebelumnya.
3. Barisan aritmatika digunakan untuk memodelkan hubungan linier, sedangkan barisan geometri digunakan untuk memodelkan hubungan eksponensial.

Barisan Aritmatika vs Geometrik

Variasi antar anggota barisan aritmatika adalah linier, sedangkan variasi unsur-unsur barisan geometri bersifat eksponensial. Barisan aritmatika tak hingga menyimpang; sebaliknya, barisan geometri tak hingga menyatu atau menyimpang, bergantung pada situasinya.

Selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika adalah biasa. Di sisi lain, rasio dua suku berurutan dalam deret geometri disebut sebagai rasio standar.

Tabel perbandingan

Fitur	Barisan Aritmatika	Urutan Geometris
Definisi	Barisan yang setiap sukunya diperoleh dengan menjumlahkan suatu nilai konstanta (perbedaan persekutuan) pada suku sebelumnya.	Barisan yang setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu nilai konstan (rasio persekutuan).
Rumus	a_n = a_1 + d(n-1)	a_n = a_1 * r^(n-1)
Karakteristik Utama	Perbedaan konstan antar istilah.	Rasio konstan antar suku.
Tingkah laku	Suku bertambah atau berkurang dengan nilai konstan.	Persyaratan bertambah atau berkurang secara eksponensial.
Jumlah n suku pertama	S_n = n/2 * (a_1 + a_n)	S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
contoh	2, 5, 8, 11, 14, …	2, 6, 18, 54, 162, …
Aplikasi	Perhitungan keuangan, pertumbuhan penduduk, fisika (benda jatuh), teori musik	Bunga majemuk, peluruhan eksponensial, pertumbuhan populasi, bentuk geometris

Apa itu Barisan Aritmatika?

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap sukunya berada diperoleh dengan menambahkan nilai konstan (disebut perbedaan umum) ke istilah sebelumnya. Ini adalah tipe urutan spesifik dengan perilaku dan penerapan yang dapat diprediksi di berbagai bidang.

Berikut rincian karakteristik utamanya:

Definisi:

• Daftar nomor yang diurutkan di mana setiap suku diperoleh menjumlahkan bilangan yang sama (perbedaan persekutuan) pada suku sebelumnya.

Formula:

• a_n = a_1 + d(n-1)
  • a_n: suku ke-n barisan tersebut.
  • a_1 : suku pertama barisan tersebut.
  • d: perbedaan umum.
  • n : kedudukan suku dalam barisan tersebut.

Karakteristik Utama:

• Perbedaan umum yang konstan: Setiap suku berbeda dari suku sebelumnya dengan nilai konstan yang sama, yang menentukan perkembangan barisan.

perilaku:

• Kemajuan linier: Istilah meningkat atau menurun dengan nilai konstan (d).
• Pola yang dapat diprediksi: Karena bedanya yang konstan, suku-suku barisan tersebut mudah diprediksi dan dapat dihitung menggunakan rumus.

Jumlah n suku pertama:

• S_n = n/2 * (a_1 + a_n)
  • S_n: jumlah n suku pertama.
  • n: jumlah suku.
  • a_1: suku pertama.
  • a_n: semester ke-n.

contoh:

• 2, 5, 8, 11, 14,… (selisih persekutuan 3)
• -10, -7, -4, -1, 2, … (selisih persekutuan 3)
• 3, 7, 11, 15, 19,… (selisih persekutuan 4)

aplikasi:

• Keuangan: Menghitung bunga majemuk, pembayaran pinjaman, dan nilai masa depan.
• Fisika: Menganalisis benda jatuh, gerak proyektil, dan gerak harmonik sederhana.
• Teori musik: Memahami interval dan skala.
• Pertumbuhan populasi: Memodelkan pertumbuhan populasi linier dari waktu ke waktu.

Apa itu Barisan Geometri?

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap sukunya berada diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan nilai konstan (disebut rasio umum). Ini adalah jenis urutan spesifik dengan karakteristik dan penerapan khusus di berbagai bidang.

Berikut rincian fitur utamanya:

Definisi:

• Daftar nomor yang diurutkan di mana hubungan antar suku didasarkan pada perkalian konstan.
• Setiap istilah diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap (rasio umum).

Formula:

• a_n = a_1 * r^(n-1)
  • a_n: suku ke-n barisan tersebut.
  • a_1 : suku pertama barisan tersebut.
  • r: rasio umum.
  • n : kedudukan suku dalam barisan tersebut.

Karakteristik Utama:

• Rasio umum konstan: Barisan tersebut berkembang dengan mengalikan setiap suku dengan nilai konstanta (r) yang sama, menentukan pertumbuhan atau peluruhannya.

perilaku:

• Pertumbuhan atau peluruhan eksponensial: Bergantung pada nilai rasio umum, suku-suku suatu barisan dapat bertambah atau berkurang secara eksponensial.
• Perubahan cepat: Dibandingkan dengan barisan aritmatika, barisan geometri mengalami laju perubahan yang lebih cepat seiring dengan perkembangan barisan tersebut.

Konvergensi atau divergensi:

• Suatu barisan geometri konvergen jika nilai mutlak perbandingan persekutuannya kurang dari 1.
• Divergen jika nilai absolut dari rasio umum lebih besar dari atau sama dengan 1.

Jumlah n suku pertama:

• S_n = a_1 * (1-r^n) / (1-r)
  • S_n: jumlah n suku pertama.
  • n: jumlah suku.
  • a_1: suku pertama.
  • r: rasio umum.

contoh:

• 2, 6, 18, 54, 162,… (rasio umum 3)
• 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … (common ratio of 1/2)
• -3, 9, -27, 81, -243,… (rasio umum -3)

aplikasi:

• Keuangan: Menghitung bunga majemuk, model pertumbuhan eksponensial, dan depresiasi.
• Ilmu: Pemodelan peluruhan radioaktif, pertumbuhan penduduk dengan sumber daya terbatas, dan bentuk geometris.
• Teori musik: Memahami interval dan logaritma yang berhubungan dengan nada.
• Kriptografi: Menerapkan algoritma enkripsi berdasarkan aritmatika modular.

Perbedaan Utama Antara Barisan Aritmatika dan Geometrik

1. Pola Kemajuan:
   • Barisan Aritmatika: Setiap suku dalam barisan aritmatika diperoleh dengan menambahkan konstanta tetap (disebut “beda persekutuan”) ke suku sebelumnya, sehingga menghasilkan perkembangan linier.
   • Barisan Geometris: Setiap suku dalam barisan geometri diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan konstanta tetap (disebut “rasio persekutuan”), sehingga menghasilkan perkembangan eksponensial.
2. Rumus:
   • Barisan Aritmatika: Rumus umum barisan aritmatika adalah an = a1 + (n – 1) * d, dengan an mewakili suku ke-n, a1 adalah suku pertama, dan d adalah selisih persekutuan.
   • Barisan Geometri: Rumus umum barisan geometri adalah an = a1 * r^(n – 1), dengan an menyatakan suku ke-n, a1 adalah suku pertama, dan r adalah perbandingan persekutuan.
3. Rate of Change:
   • Barisan Aritmatika: Laju perubahan suku-suku yang berurutan adalah konstan dan sama dengan selisih persekutuan (d).
   • Barisan Geometris: Laju perubahan suku-suku yang berurutan adalah konstan dan sama dengan perbandingan umum (r).
4. Contoh Kemajuan:
   • Barisan Aritmatika: Contoh barisan aritmatika adalah 2, 4, 6, 8, 10,…, dimana selisih persekutuan (d) adalah 2.
   • Barisan Geometri: Contoh barisan geometri adalah 3, 6, 12, 24, 48,…, dengan perbandingan persekutuan (r) adalah 2.
5. Sifat Ketentuan:
   • Barisan Aritmatika: Suku-suku dalam barisan aritmatika menyatakan besaran-besaran yang bertambah atau berkurang dengan jumlah yang tetap pada setiap suku.
   • Barisan Geometris: Suku-suku dalam barisan geometri menyatakan besaran-besaran yang bertambah atau berkurang dengan perbandingan tetap pada setiap suku.
6. Jumlah Ketentuan:
   • Barisan Aritmatika: Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dapat dihitung dengan menggunakan rumus Sn = (n/2) * [2 * a1 + (n – 1) * d], dimana Sn adalah jumlah, n adalah banyaknya suku, a1 adalah suku pertama, dan d adalah selisihnya.
   • Barisan Geometri: Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri dapat dihitung dengan menggunakan rumus Sn = (a1 * (1 – r^n)) / (1 – r), dimana Sn adalah jumlah, n adalah bilangan suku-suku, a1 adalah suku pertama dan r adalah rasio persekutuan.

Referensi

1. https://arxiv.org/pdf/1001.5055
2. https://msp.org/pjm/1971/38-2/pjm-v38-n2-p05-s.pdf

Terakhir Diperbarui : 11 Desember 2023