L'algebra vettoriale è parte integrante della fisica e della matematica. Semplifica i calcoli e aiuta ad analizzare un'ampia varietà di concetti spaziali.
Un vettore può essere manipolato utilizzando due operazioni di base. Queste operazioni sono i prodotti punto e croce, con grandi differenze.
Punti chiave
- Operazione matematica: il prodotto scalare calcola il prodotto scalare di due vettori, mentre il prodotto scalare calcola il prodotto vettoriale.
- Risultato: il prodotto scalare produce una quantità scalare, mentre il prodotto scalare produce un vettore.
- Ortogonalità: il prodotto scalare è zero quando i vettori sono ortogonali, mentre il prodotto incrociato risulta in un vettore perpendicolare ai vettori originali.
Prodotto scalare vs prodotto incrociato
La differenza tra il prodotto scalare e il prodotto scalare di due vettori è che il risultato è a scalare quantità, mentre lo sviluppo del prodotto vettoriale è una quantità vettoriale.
Un prodotto scalare di due vettori è anche chiamato prodotto scalare. È il prodotto della grandezza dei due vettori e del coseno dell'angolo che formano tra loro.
Il prodotto vettoriale di due vettori è detto anche prodotto vettoriale. È il prodotto della grandezza dei due vettori e del seno dell'angolo che formano tra loro.
Tavola di comparazione
| Parametro di confronto | Prodotto a punti | Prodotto incrociato |
|---|---|---|
| Definizione generale | Un prodotto scalare è il prodotto della grandezza dei vettori e il cos dell'angolo tra di loro. | Un prodotto vettoriale è il prodotto della grandezza dei vettori e del seno dell'angolo che essi sottendono l'uno sull'altro. |
| Relazione Matematica | Il prodotto scalare di due vettori A e B è rappresentato come: Α.Β = ΑΒ cos θ | Il prodotto incrociato di due vettori A e B è definito come Α × Β = ΑΒ sin θ |
| Risultante | La risultante del prodotto scalare dei vettori è una quantità scalare. | La risultante del prodotto vettoriale dei vettori è una grandezza vettoriale. |
| Ortogonalità dei vettori | Il prodotto scalare è zero quando i vettori sono ortogonali (θ = 90°). | Il prodotto vettoriale è massimo quando i vettori sono ortogonali (θ = 90°). |
| Commutatività | Il prodotto scalare di due vettori segue la legge commutativa: A. B = B. A | Il prodotto incrociato di due vettori non segue la legge commutativa: A × B ≠ B × A |
Cos'è il prodotto scalare?
Un prodotto scalare o prodotto scalare di due vettori è il prodotto delle loro grandezze e il coseno dell'angolo sotteso da un vettore sull'altro.
È rappresentato come:
A·Β = |A| |B| cosθ
Il risultato è una quantità scalare, quindi ha solo grandezza ma nessuna direzione.
Prendiamo il coseno dell'angolo per calcolare il prodotto scalare in modo che i vettori siano allineati nella stessa direzione. In questo modo otteniamo la proiezione di un vettore sull'altro.
Per i vettori con n dimensioni, il prodotto scalare è dato da:
A·Β = Σα¡b¡
Il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:
- È commutativo.
Α·b = b·α
- Segue la legge distributiva.
Α· ( b+c) = α·b + α·c
- Segue la legge della moltiplicazione scalare.
( λα) · ( μb) = λμ ( α· b)
Cos'è il prodotto incrociato?
Un prodotto vettoriale o il prodotto vettoriale di due vettori è il prodotto delle loro grandezze e il seno dell'angolo sotteso da uno sull'altro.
È rappresentato come:
A×Β = |A| |B| peccato θ
Il risultato è un'altra grandezza vettoriale. Il vettore risultante è perpendicolare a entrambi i vettori. La sua direzione può essere determinata usando la regola della mano destra.
Le seguenti regole devono essere mantenute mente calcolando il prodotto scalare:
- io × j = k
- J × k = io
- K × io = j
I, j e k sono rispettivamente i vettori unitari nelle direzioni x, y e z.
Il prodotto vettoriale ha le seguenti proprietà:
- È anti-commutativo.
a × b = – (b × α)
- Segue la legge distributiva.
a × ( b+c) = α × b + α × c
- Segue la legge della moltiplicazione scalare.
(λα) × (b) = λ (α × b)
Principali differenze tra prodotto scalare e prodotto incrociato
Il prodotto scalare e il prodotto scalare consentono calcoli in vettore algebra. Hanno diverse applicazioni e diverse relazioni matematiche.
Le principali differenze tra i due sono:
- Se due vettori sono ortogonali, il loro prodotto scalare è zero, mentre il loro prodotto scalare è massimo.
- Il prodotto scalare segue la legge commutativa, mentre il prodotto incrociato è anti-commutativo.
- https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
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Ultimo aggiornamento: 11 giugno 2023
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Emma Smith ha conseguito un master in inglese presso l'Irvine Valley College. Giornalista dal 2002, scrive articoli sulla lingua inglese, lo sport e il diritto. Leggi di più su di me su di lei pagina bio.
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