Calcolatore del prodotto scalare

istruzioni:

• Immettere i vettori A e B e selezionare l'operazione.
• Fare clic su "Calcola" per eseguire il calcolo.
• Visualizza il risultato, i dettagli del calcolo e la cronologia di seguito.
• Fare clic su "Cancella" per reimpostare gli input e i risultati.
• Fare clic su "Copia" per copiare il risultato negli appunti.

Vettore A:

Vettore B:

Seleziona operazione: Prodotto a punti Prodotto incrociato

calcolato Cancellare Copia

Risultato:

Dettagli di calcolo:

Cronologia dei calcoli:

Il calcolatore del prodotto scalare è uno strumento che calcola il prodotto scalare di due vettori. È un modo fondamentale per combinare due vettori ed è ampiamente utilizzato in matematica, fisica e ingegneria.

concetti

Il prodotto scalare è un'operazione algebrica che prende due sequenze di numeri di uguale lunghezza, vettori di coordinate e restituisce un singolo numero. È noto anche come prodotto scalare. Il prodotto scalare misura la direzione relativa di due vettori. Ci dice qualcosa su quanto due vettori puntano nella stessa direzione.

Formule

Scriviamo il prodotto scalare con un puntino ⋅ tra i due vettori (pronunciato “a punto b”):

a → ⋅ b → = ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ)

Se scomponiamo questo fattore per fattore, i primi due sono ‖ a → ‖ e ‖ b → ‖. Queste sono le grandezze di a → e b →, quindi il prodotto scalare tiene conto della lunghezza dei vettori. Il fattore finale è cos ( θ), dove θ è l'angolo tra a → e b →. Questo ci dice che il prodotto scalare ha a che fare con la direzione. Nello specifico, quando θ = 0, i due vettori puntano esattamente nella stessa direzione. Senza tenere conto delle grandezze dei vettori, questo è il momento in cui il prodotto scalare è massimo, perché cos ( 0) = 1. In generale, più due vettori puntano nella stessa direzione, maggiore sarà il prodotto scalare tra di loro.

Un altro modo di pensare a θ è immaginare che un vettore faccia cadere un'ombra sull'altro. Quando l'angolo è piccolo, l'ombra è lontana dall'origine e il prodotto scalare è grande. Quando θ è vicino a π/2, l'ombra si avvicina all'origine e il prodotto scalare è piccolo.

Quando dobbiamo trovare un prodotto scalare nel calcolo in più variabili, abbiamo solo le coordinate di a → e b →. Calcolare ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ) ci costringerebbe a trovare due radici quadrate e un coseno, il che richiede molto lavoro! Fortunatamente esiste un modo più semplice. Basta moltiplicare i componenti corrispondenti e quindi aggiungere:

a → = ( ​​a 1, a 2, a 3) b → = ( ​​b 1, b 2, b 3) a → ⋅ b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

Questa formula si estende per vettori di qualsiasi lunghezza.

Benefici

Il prodotto scalare ha molti vantaggi. Viene utilizzato in fisica per calcolare il lavoro compiuto da una forza, nella computer grafica per calcolare l'illuminazione e l'ombreggiatura e nell'apprendimento automatico per calcolare la somiglianza tra i vettori. Viene utilizzato anche in ingegneria per calcolare la coppia su un albero e nella navigazione per calcolare la distanza tra due punti.

Curiosità

• Il prodotto scalare è commutativo, il che significa che a → ⋅ b → = b → ⋅ a →.
• Il prodotto scalare è distributivo, il che significa che a → ⋅ ( b → + c → ) = a → ⋅ b → + a → ⋅ c →.
• Il prodotto scalare non è associativo, il che significa che a → ⋅ ( b → ⋅ c → ) ≠ ( a → ⋅ b → ) ⋅ c →.

Ultimo aggiornamento: 11 dicembre 2023