Vektoralgebra on füüsika ja matemaatika lahutamatu osa. See lihtsustab arvutusi ja aitab analüüsida mitmesuguseid ruumikontseptsioone.
Vektorit saab manipuleerida kahe põhitoiminguga. Need toimingud on punkt- ja ristkorrutised, millel on suured erinevused.
Võtme tagasivõtmine
- Matemaatiline tehe: punktkorrutis arvutab kahe vektori skalaarkorrutise, ristkorrutis aga vektorkorrutise.
- Tulemus: punktkorrutis annab skalaarse koguse, ristkorrutis aga vektori.
- Ortogonaalsus: punktkorrutis on null, kui vektorid on ortogonaalsed, samas kui ristkorrutis annab vektori, mis on algsete vektoritega risti.
Punkttoode vs risttoode
Kahe vektori punktkorrutise ja ristkorrutise erinevus seisneb selles, et tulemuseks on a skalaarne kogus, samas kui ristkorrutise areng on vektorkogus.
Kahe vektori punktkorrutist nimetatakse ka skalaarkorrutiseks. See on kahe vektori suuruse ja nende üksteisega moodustatud nurga koosinuse korrutis.
Kahe vektori ristkorrutist nimetatakse ka vektorkorrutiseks. See on kahe vektori suuruse ja nende üksteisega moodustatud nurga siinuse korrutis.
Võrdlustabel
| Võrdlusparameeter | Punkttoode | Risttoode |
|---|---|---|
| Üldine määratlus | Punktkorrutis on vektorite suuruse ja nendevahelise nurga cos korrutis. | Ristkorrutis on vektorite suuruse ja nurga siinuse korrutis, mille nad üksteisele langevad. |
| Matemaatiline seos | Kahe vektori A ja B punktkorrutis on esitatud järgmiselt: Α.Β = ΑΒ cos θ | Kahe vektori A ja B ristkorrutis on defineeritud kui Α × Β = ΑΒ sin θ |
| Tulemuslik | Vektorite punktkorrutise resultant on skalaarsuurus. | Vektorite ristkorrutise resultant on vektorkogus. |
| Vektorite ortogonaalsus | Punktkorrutis on null, kui vektorid on ortogonaalsed (θ = 90°). | Ristkorrutis on maksimaalne, kui vektorid on ortogonaalsed (θ = 90°). |
| Kommutatiivsus | Kahe vektori punktkorrutis järgib kommutatsiooniseadust: A. B = B. A | Kahe vektori ristkorrutis ei järgi kommutatsiooniseadust: A × B ≠ B × A |
Mis on Dot Product?
Kahe vektori punktkorrutis või skalaarkorrutis on nende suuruste ja nurga koosinuse korrutis, mille üks vektor piirab teise üle.
Seda kujutatakse järgmiselt:
A·Β = |A| |B| cos θ
Tulemuseks on skalaarsuurus, seega on sellel ainult suurusjärk, kuid puudub suund.
Punktkorrutise arvutamiseks võtame nurga koosinuse nii, et vektorid joonduksid samas suunas. Nii saame ühe vektori projektsiooni üle teise.
N-mõõtmeliste vektorite korral saadakse punktkorrutis järgmiselt:
A·Β = Σ α¡b¡
Punkttootel on järgmised omadused:
- See on kommutatiivne.
Α· b = b·α
- See järgib jaotusseadust.
Α· (b+c) = α·b + α·c
- See järgib skalaarkorrutamise seadust.
( λα) · ( μb) = λμ ( α· b)
Mis on risttoode?
Kahe vektori ristkorrutis või vektorkorrutis on nende suuruste ja nurga siinuse korrutis, mis on üksteise suhtes piiratud.
Seda kujutatakse järgmiselt:
A×Β = |A| |B| sin θ
Tulemuseks on veel üks vektorsuurus. Saadud vektor on mõlema vektoriga risti. Selle suuna saab määrata parema käe reegli abil.
Järgmisi reegleid tuleb järgida meeles ristkorrutise arvutamisel:
- I × j = k
- J × k = i
- K × I = j
I, j ja k on ühikvektorid vastavalt x-, y- ja z-suunas.
Risttootel on järgmised omadused:
- See on kommutatsioonivastane.
a× b = – (b × α)
- See järgib jaotusseadust.
a × (b+c) = α × b + α × c
- See järgib skalaarkorrutamise seadust.
(λα) × (b) = λ (α × b)
Peamised erinevused punktitoote ja risttoote vahel
Punktkorrutis ja ristkorrutis võimaldavad arvutusi vektoris algebra. Neil on erinevad rakendused ja erinevad matemaatilised seosed.
Peamised erinevused nende kahe vahel on järgmised:
- Kui kaks vektorit on ortogonaalsed, on nende punktkorrutis null, samas kui nende ristkorrutis on maksimaalne.
- Punktkorrutis järgib kommutatsiooniseadust, samas kui ristkorrutis on kommutatiivne.
- https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
- https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf
Viimati värskendatud: 11. juunil 2023
Olen selle blogipostituse kirjutamisega nii palju vaeva näinud, et teile väärtust pakkuda. See on mulle väga kasulik, kui kaalute selle jagamist sotsiaalmeedias või oma sõprade/perega. JAGAMINE ON ♥️
Emma Smithil on Irvine Valley College'is magistrikraad inglise keeles. Ta on olnud ajakirjanik alates 2002. aastast, kirjutades artikleid inglise keele, spordi ja õiguse teemadel. Loe tema kohta minu kohta rohkem bio-leht.
Artikli võrdlustabel on uskumatult informatiivne, muutes kahe vektoroperatsiooni ja nende rakenduste erinevuste mõistmise lihtsamaks.
Olen sinuga täiesti nõus. See võrdlustabel võtab peamised erinevused lühidalt ja tõhusalt kokku, mis on õpilaste õppimise jaoks hädavajalik.
Punkt- ja ristproduktide erinevused on selles artiklis kristallselgeks tehtud, pakkudes olulist õppimiskogemust kõigile, kes on huvitatud vektoralgebrast.
Absoluutselt! Artikkel toimib teadmiste katalüsaatorina, võimaldades inimestel vektoralgebra keerukusest sujuvalt aru saada.
Artiklis sisalduv põhjalik ülevaade punkti- ja risttoodetest heidab tõeliselt valgust nende erinevale olemusele ja kasutusaladele, pakkudes lugejatele mõlema kontseptsiooni sügavamat mõistmist.
Absoluutselt! Siin esitatud teadmiste sügavus on märkimisväärne ja see on ülioluline, et kõik vektoralgebrast huvitatud inimesed seda väärtuslikku teavet omaksid.
Punkt- ja ristitoodete selgitused on üsna selged ja arusaadavad. On hariv mõista, kuidas need toimingud toimivad ja nende tegelikku tähtsust.
Vektorite kasutamine matemaatika- ja füüsikaõppes on alati olnud huvipakkuv teema. See artikkel annab hästi struktureeritud võrdluse punkt- ja ristsaaduste vahel, muutes selle mõistmise lihtsamaks.
Kindlasti on siinne punkt- ja ristkorrutise üksikasjalik selgitus fantastiline ning see aitab omandada sügavama arusaama vektoralgebrast.
Artikkel toob tõhusalt välja punkt- ja ristkorrutise eristavad aspektid, pannes tugeva aluse neile, kes süvenevad vektorite maailma.
Absoluutselt annab see artikkel nendest vektoroperatsioonidest tugeva arusaamise ja selgituse selgus on kiiduväärt.
Vektoralgebra annab suurepärase võimaluse lahendada matemaatilisi ja füüsilisi probleeme. Need punkt- ja risttooted on õpilastele nende mõistmiseks ja rakendamiseks üliolulised.
Ma nõustun sinuga. Vektoralgebra täpsus ja selgus pakuvad suurepäraseid teadmisi. Ma arvan, et vektorite õppimine peaks olema matemaatika ja füüsika prioriteet.
See artikkel teeb suurepärast tööd vektoralgebra mõistmise tähtsuse rõhutamiseks. Üliõpilased ja teadlased saavad siin esitatud teadmistest palju kasu.
Selle artikli selgituste selgus ja sidusus muudavad selle väärtuslikuks ressursiks nii õpilastele kui ka spetsialistidele. Nende toimingute mõistmine võib viia suuremate probleemide lahendamise oskusteni.
Olen kogu südamest nõus. Siinse sisu selge olemus loob konstruktiivse õppimiskogemuse, mis on võtmetähtsusega inimestele, kes soovivad oma matemaatilisi ja füüsilisi teadmisi laiendada.
See artikkel teeb fantastilise töö punkt- ja ristkorrutise omaduste selgitamisel, muutes vektoralgebra õpilastele ja entusiastidele paremini kättesaadavaks.
Ma ei saanud rohkem nõustuda. Nende omaduste mõistmise väärtust ei saa ülehinnata ja ma usun, et see artikkel saavutab selle eesmärgi tõhusalt.