Máy tính sản phẩm chấm

hướng dẫn:

• Nhập vectơ A và B và chọn thao tác.
• Nhấp vào "Tính toán" để thực hiện phép tính.
• Xem kết quả, chi tiết tính toán và lịch sử bên dưới.
• Nhấp vào "Xóa" để đặt lại đầu vào và kết quả.
• Nhấp vào "Sao chép" để sao chép kết quả vào khay nhớ tạm.

Vectơ A:

Vectơ B:

Chọn thao tác: chấm sản phẩm Sản phẩm chéo

Tính toán Trong sáng Sao chép

Kết quả:

Chi tiết tính toán:

Lịch sử tính toán:

Máy tính tích số chấm là một công cụ tính toán tích số chấm của hai vectơ. Đó là một cách cơ bản để kết hợp hai vectơ và được sử dụng rộng rãi trong toán học, vật lý và kỹ thuật.

Các khái niệm

Tích số chấm là một phép toán đại số lấy hai dãy số có độ dài bằng nhau, vectơ tọa độ và trả về một số duy nhất. Nó còn được gọi là tích vô hướng. Tích số chấm đo hướng tương đối của hai vectơ. Nó cho chúng ta biết điều gì đó về mức độ hai vectơ hướng cùng hướng.

Công thức

Chúng ta viết tích số chấm bằng một dấu chấm nhỏ ⋅ giữa hai vectơ (phát âm là “a dot b”):

a → ⋅ b → = ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ)

Nếu chúng ta chia nhỏ yếu tố này theo yếu tố, thì hai yếu tố đầu tiên là ‖ a → ‖ và ‖ b → ‖. Đây là độ lớn của a → và b →, do đó tích vô hướng sẽ tính đến độ dài của vectơ. Hệ số cuối cùng là cos ( θ), trong đó θ là góc giữa a → và b →. Điều này cho chúng ta biết tích số chấm có liên quan đến hướng. Cụ thể, khi θ = 0, hai vectơ chỉ cùng hướng. Không tính đến độ lớn của vectơ, đây là lúc tích vô hướng có giá trị lớn nhất, vì cos ( 0) = 1. Nói chung, hai vectơ càng hướng cùng hướng thì tích vô hướng giữa chúng sẽ càng lớn.

Một cách khác để nghĩ về θ là tưởng tượng một vectơ đổ bóng lên vectơ kia. Khi góc nhỏ, bóng sẽ ở xa điểm gốc và tích chấm sẽ lớn. Khi θ gần bằng π/2, bóng tiến gần gốc tọa độ và tích chấm nhỏ.

Khi cần tìm tích chấm trong phép tính nhiều biến, chúng ta chỉ có tọa độ của a → và b →. Việc tính ‖ a → ‖ ‖ b → ‖ cos ( θ) sẽ buộc chúng ta phải tìm hai căn bậc hai và một cosin, việc này tốn rất nhiều công sức! May mắn thay, có một cách dễ dàng hơn. Chỉ cần nhân các thành phần tương ứng rồi cộng:

a → = ( ​​a 1, a 2, a 3) b → = ( ​​b 1, b 2, b 3) a → ⋅ b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

Công thức này mở rộng cho các vectơ có độ dài bất kỳ.

Lợi ích

Sản phẩm chấm có nhiều lợi ích. Nó được sử dụng trong vật lý để tính toán công do một lực thực hiện, trong đồ họa máy tính để tính toán ánh sáng và bóng râm, và trong học máy để tính toán độ tương tự giữa các vectơ. Nó cũng được sử dụng trong kỹ thuật để tính mô-men xoắn trên trục và trong điều hướng để tính khoảng cách giữa hai điểm.

Sự thật thú vị

• Tích vô hướng có tính giao hoán, nghĩa là a → ⋅ b → = b → ⋅ a →.
• Tích số chấm có tính phân phối, nghĩa là a → ⋅ ( b → + c → ) = a → ⋅ b → + a → ⋅ c →.
• Tích chấm không có tính kết hợp, nghĩa là a → ⋅ ( b → ⋅ c → ) ≠ ( a → ⋅ b → ) ⋅ c →.

Cập nhật lần cuối: ngày 11 tháng 2023 năm XNUMX