Sản phẩm chấm so với Sản phẩm chéo: Sự khác biệt và So sánh

Đại số vectơ là một phần không thể thiếu của Vật lý và Toán học. Nó đơn giản hóa các tính toán và giúp phân tích nhiều khái niệm không gian.

Một vectơ có thể được thao tác bằng hai thao tác cơ bản. Các hoạt động này là các sản phẩm chấm và chéo, với sự khác biệt lớn.

Các nội dung chính

1. Phép toán: Tích vô hướng tính tích vô hướng của hai vectơ, trong khi tích chéo tính tích vectơ.
2. Kết quả: Tích vô hướng mang lại một đại lượng vô hướng, trong khi tích chéo tạo ra một vectơ.
3. Tính trực giao: Tích vô hướng bằng XNUMX khi các vectơ trực giao, trong khi tích chéo tạo ra một vectơ vuông góc với các vectơ ban đầu.

Sản phẩm chấm so với Sản phẩm chéo

Sự khác biệt giữa tích vô hướng và tích chéo của hai vectơ là kết quả là một vô hướng đại lượng, trong khi khai triển của tích chéo là một đại lượng vectơ.

Tích vô hướng của hai vectơ còn được gọi là tích vô hướng. Nó là tích của độ lớn của hai vectơ và cosin của góc mà chúng tạo với nhau.

Tích của hai vectơ còn được gọi là tích vectơ. Nó là tích của độ lớn của hai vectơ và sin của góc mà chúng tạo với nhau.

---

 

Bảng so sánh

Tham số so sánh	chấm sản phẩm	Sản phẩm chéo
Định nghĩa chung	Một tích vô hướng là tích của độ lớn của các vectơ và cos của góc giữa chúng.	Tích chéo là tích độ lớn của các vectơ và sin của góc mà chúng phụ thuộc vào nhau.
quan hệ toán học	Tích vô hướng của hai vectơ A và B được biểu diễn dưới dạng: Α.Β = ΑΒ cos θ	Tích chéo của hai vectơ A và B được định nghĩa là Α × Β = ΑΒ sin θ
Kết quả	Kết quả của tích vô hướng của các vectơ là một đại lượng vô hướng.	Kết quả của tích chéo của các vectơ là một đại lượng vectơ.
Tính trực giao của vectơ	Tích vô hướng bằng 90 khi các vectơ trực giao ( θ = XNUMX°).	Tích chéo lớn nhất khi các vectơ trực giao ( θ = 90°).
tính giao hoán	Tích vô hướng của hai vectơ tuân theo quy luật giao hoán: A. B = B. A	Tích chéo của hai vectơ không tuân theo luật giao hoán: A × B ≠ B × A

---

 

Sản phẩm chấm là gì?

Tích vô hướng hoặc tích vô hướng của hai vectơ là tích của độ lớn của chúng và cosin của góc tạo bởi vectơ này trên vectơ kia.

Nó được biểu diễn dưới dạng:

A·Β = |A| |B| cosθ

Kết quả là một đại lượng vô hướng, vì vậy nó chỉ có độ lớn mà không có hướng.

Ta lấy cosin của góc để tính tích vô hướng sao cho các vectơ thẳng hàng cùng hướng. Bằng cách này, chúng ta có được hình chiếu của một vectơ trên vectơ kia.

Đối với các vectơ có n kích thước, tích vô hướng được cho bởi:

A·Β = Σ α¡b¡

Sản phẩm chấm có các thuộc tính sau:

• Nó có tính chất giao hoán.

Α· b = b·α

• Nó tuân theo luật phân phối.

Α· ( b+c) = α·b + α·c

• Nó tuân theo luật nhân vô hướng.

( λα) · ( μb) = λμ ( α· b)

 

Sản phẩm chéo là gì?

Một tích chéo hoặc tích vectơ của hai vectơ là tích của độ lớn của chúng và sin của góc bị phụ thuộc bởi một vectơ khác.

Nó được biểu diễn dưới dạng:

A×Β = |A| |B| tội lỗi

Kết quả là một đại lượng vectơ khác. Vectơ tổng vuông góc với cả hai vectơ. Có thể xác định hướng của nó bằng quy tắc bàn tay phải.

Các quy tắc sau đây phải được giữ trong tâm trong khi tính toán sản phẩm chéo:

• Tôi × j = k
• J × k = tôi
• K×I = j

I, j và k lần lượt là các vectơ đơn vị theo phương x, y và z.

Tích chéo có các tính chất sau:

• Nó chống giao hoán.

a× b = – (b× α)

• Nó tuân theo luật phân phối.

a × ( b+c) = α × b + α × c

• Nó tuân theo luật nhân vô hướng.

( λα) × ( b) = λ ( α × b)

---

Sự khác biệt chính giữa Sản phẩm chấm và Sản phẩm chéo

Tích vô hướng và tích chéo cho phép tính toán trong vectơ đại số học. Chúng có các ứng dụng khác nhau và các quan hệ toán học khác nhau.

Sự khác biệt chính giữa hai là:

1. Nếu hai vectơ trực giao thì tích vô hướng của chúng bằng XNUMX, trong khi tích chéo của chúng là cực đại.
2. Tích vô hướng tuân theo luật giao hoán, trong khi tích chéo là phản giao hoán.

---

dự án

1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
2. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf